非递归全排列 python实现

pythonalgorithm

全排列（Permutation）

排列 （Permutation）是将相异物件或符号根据确定的顺序重排。每个顺序都称作一个排列。

例如，从一到六的数字有720种排列，对应于由这些数字组成的所有不重复亦不阙漏的序列，例如4, 5, 6, 1, 2, 3 与1, 3, 5, 2, 4, 6。 -- From Wikipedia

从\(n\)个相异元素中取出 \(k\)个元素，\(k\)个元素的排列数量为：

\[ {P_{k}^{n}={\frac {n!}{(n-k)!}}} \]

其中\(P\)意为Permutation（排列），\(!\)表示阶乘运算。全排列而取\(k\)为\(n\),则结果为\(n!\)。

1. 字典序法

   字典序，就是将元素按照字典的顺序（a-z, 1-9）实际上是ASCII编码值进行排列。以字典的顺序作为比较的依据，可以比较出两个串的大小。

   比如 "1" < "13"<"14"<"153"， 就是按每个数字位逐个比较的结果。对于一个串\(“123456789”\)， 可以知道最小的串是\(“123456789”\)，而最大的串\(“987654321”\)。这样针对这个串以字典序法生成全排列生成全排列，就是依次生成

   \[“123456789”->“123456798”->......->"987654312"->"987654321" \]

   这样的串。字典序法要求这一个与下一个有尽可能长的共同前缀，也即变化限制在尽可能短的后缀上。

2. 邻位对换法

   该算法由Johnson-Trotter首先提出，是一个能快速生成全排列的算法。它的下一个全排列总是上一个全排列对换某相邻两位得到的。如果已知n-1个元素的排列，将n插入到排列的不同位置，就得到了n个元素的排列。用这种方法可以产生出任意n个元素的排列。这个方法有一个缺点：为了产生n个元素的排列，我们必须知道并存储所有n-1个元素的排列，然后才能产生出所有n阶排列。

3. 递增进位制法

   这个算法是基于序列的递增进位制数[3]。递增进位制数是指数字的进制随着位数的递增而递增。一般情况下，数字最右边的进制是2，次右边的进制是3，以此类推。n位递增进位制数一共包含n!个数字，所以它可以与全排列生成算法结合在一起。

4. 递减进位制法

   该方法与递增进位制法的原理相似，不同的是它定义的“递减进位制数”是数字的进制随着位数的递增而递减。这种进制一般最左边的进制是2，次左边的进制是3。其余原理与递增进位制法基本相同。

Python实现

字典序法

非递归算法

设\(P\)是集合\({1，2，……n-1，n}\)的一个全排列：

\(P=P_1P_2……P_{j-1}P_jP_{j+1}…P_n(1≤P_1，P_2，……，P_n≤n)\)

1. 从排列的右端开始，找出第一个比右边数字小的数字的序号j，即

   \[j=max\{ j|Pj<Pj+1, 1 < j < n\} \]

   在\(P_j\)的右边的数字中，找出所有比\(P_j\)大的数字中最小的数字\(P_k\)，即

   \[P_k=min\{Pi|P_i>P_j，i>j\} \]

2. 交换\(P_j\)，\(P_k\)

3. 再将排列右端的递减部分\(P_{j+1}P_{j+2}…P_n\) 倒序可以得到一个新的排列

   \(P'=P_1P_2…P_{j-1}P_kP_n…P_j..P_{j+2}P_{j+1}\)

代码

#!/usr/bin/env python2
# -*- coding: utf-8 -*-
"""
@author: gsharp
"""
def Swap(n,a,b):
    n[a],n[b] = n[b],n[a]
    return None
# 从n[begin]开始反转数组 xxx543->xxx345
def Reverse(n,begin):
    if len(n) > begin:
        i = begin
        j = len(n)-1
        while i < j:
            Swap(n,i,j)
            i += 1
            j -= 1
    return n
#  查找n[i-1:size]中比n[i]大的最小数
def FindMin(n,i):
    j = len(n)-1
    k = i + 1
    while j > i:
        if n[j] > n[i] and n[j] < n[k]:
            k = j
        j -= 1
    return k

def Permut(n):
    count = 0
    j = len(n) -1  
    if j < 1:
        return n
    else :
        print n
        count += 1
        while j >= 1:
            i = j - 1
            if n[i] < n [j] : # 逆序找到第一个小于右侧数的位置i
                k = FindMin(n,i)
                Swap (n,i,k)
                Reverse (n,j)
                j = len(n) - 1
                count += 1
                print n
            else :
                j -= 1
    print count

n =[1,2,3,4,5,6]
Permut(n)

注意:

1. 这里只能对于具有可比较值的列表排序，对于如【'～'，'！'，'@'，'#'】无法直接排序。
2. 初始序列必须为最小序列，否则无法列出全部排列。可先使用快速排序来排序后作为输入。