解密随机数生成器，2——从java源码看线性同余算法

上篇博客中，我们了解了基于物理现象的真随机数生成器，然而，真随机数产生速度较慢，为了实际计算需要，计算机中的随机数都是由程序算法，也就是某些公式函数生成的，只不过对于同一随机种子与函数，得到的随机数列是一定的，因此得到的随机数可预测且有周期，不能算是真正的随机数，因此称为伪随机数（Pseudo Random Number）。

不过，别看到伪字就瞧不起，这里面也是有学问的，看似几个简简单单的公式可能是前辈们努力了几代的成果，相关的研究可以写好几本书了！顺便提一下，亚裔唯一图灵奖得主姚期智，研究的就是伪随机数生成论（The pseudo random number generating theory）。在这里，我重点介绍两个常用的算法：同余法（Congruential method）和梅森旋转算法（Mersenne twister）

1、同余法

同余法（Congruential method）是很常用的一种随机数生成方法，在很多编程语言中有应用，最明显的就是java了，java.util.Random类中用的就是同余法中的一种——线性同余法（Linear congruential method），除此之外还有乘同余法（Multiplicative congruential method）和混合同余法（Mixed congruential method）。好了，现在我们就打开java的源代码，看一看线性同余法的真面目！

在Eclipse中输入java.util.Random，按F3转到Random类的源代码：

首先，我们看到这样一段说明：

翻译过来是：

这个类的一个实现是用来生成一串伪随机数。这个类用了一个48位的种子，被线性同余公式修改用来生成随机数。（见Donald Kunth《计算机编程的艺术》第二卷，章节3.2.1）

显然，java的Random类使用的是线性同余法来得到随机数的。

接着往下看，我们找到了它的构造函数与几个方法，里面包含了获得48位种子的过程：

Java代码

1. /**
2. * Creates a new random number generator. This constructor sets
3. * the seed of the random number generator to a value very likely
4. * to be distinct from any other invocation of this constructor.
5. */
6. public Random() {
7. this(seedUniquifier() ^ System.nanoTime());
8. }
9. private static long seedUniquifier() {
10. // L'Ecuyer, "Tables of Linear Congruential Generators of
11. // Different Sizes and Good Lattice Structure", 1999
12. for (;;) {
13. long current = seedUniquifier.get();
14. long next = current * 181783497276652981L;
15. if (seedUniquifier.compareAndSet(current, next))
16. return next;
17. }
18. }
19. private static final AtomicLong seedUniquifier
20. = new AtomicLong(8682522807148012L);
21. public Random(long seed) {
22. if (getClass() == Random.class)
23. this.seed = new AtomicLong(initialScramble(seed));
24. else {
25. // subclass might have overriden setSeed
26. this.seed = new AtomicLong();
27. setSeed(seed);
28. }
29. }
30. private static long initialScramble(long seed) {
31. return (seed ^ multiplier) & mask;
32. }
33. 。。。

这里使用了System.nanoTime()方法来得到一个纳秒级的时间量，参与48位种子的构成，然后还进行了一个很变态的运算——不断乘以181783497276652981L，直到某一次相乘前后结果相同——来进一步增大随机性，这里的nanotime可以算是一个真随机数，不过有必要提的是，nanoTime和我们常用的currenttime方法不同，返回的不是从1970年1月1日到现在的时间，而是一个随机的数——只用来前后比较计算一个时间段，比如一行代码的运行时间，数据库导入的时间等，而不能用来计算今天是哪一天。

好了，现在我不得不佩服这位工程师的变态了：到目前为止，这个程序已经至少进行了三次随机：

1、获得一个长整形数作为“初始种子”（系统默认的是8682522807148012L）

2、不断与一个变态的数——181783497276652981L相乘（天知道这些数是不是工程师随便滚键盘滚出来的-.-）直到某一次相乘前后数值相等

3、与系统随机出来的nanotime值作异或运算，得到最终的种子

再往下看，就是我们常用的得到随机数的方法了，我首先找到了最常用的nextInt（）函数，代码如下：

Java代码

1. public int nextInt() {
2. return next(32);
3. }

代码很简洁，直接跳到了next函数：

Java代码

1. protected int next(int bits) {
2. long oldseed, nextseed;
3. AtomicLong seed = this.seed;
4. do {
5. oldseed = seed.get();
6. nextseed = (oldseed * multiplier + addend) & mask;
7. } while (!seed.compareAndSet(oldseed, nextseed));
8. return (int)(nextseed >>> (48 - bits));
9. }

OK,祝贺一下怎么样，因为我们已经深入到的线性同余法的核心了——没错，就是这几行代码！

在分析这段代码前，先来简要介绍一下线性同余法。

在程序中为了使表达式的结果小于某个值，我们常常采用取余的操作，结果是同一个除数的余数，这种方法叫同余法（Congruential method）。

线性同余法是一个很古老的随机数生成算法，它的数学形式如下：

Xn+1 = (a*Xn+c)(mod m)

其中，

m>0,0<a<m,0<c<m

这里Xn这个序列生成一系列的随机数，X0是种子。随机数产生的质量与m，a，c三个参数的选取有很大关系。这些随机数并不是真正的随机，而是满足在某一周期内随机分布，这个周期的最长为m。根据Hull-Dobell Theorem，当且仅当：

1. c和m互素;

2. a-1可被所有m的质因数整除;

3. 当m是4的整数倍，a-1也是4的整数倍

时，周期为m。所以m一般都设置的很大，以延长周期。

现在我们回过头来看刚才的程序，注意这行代码：

Java代码

1. nextseed = (oldseed * multiplier + addend) & mask;

和Xn+1=(a*Xn+c)(mod m)的形式很像有木有！

没错，就是这一行代码应用到了线性同余法公式！不过还有一个问题：怎么没见取余符号？嘿嘿，先让我们看看三个变量的数值声明：

Java代码

1. private static final long multiplier = 0x5DEECE66DL;
2. private static final long addend = 0xBL;
3. private static final long mask = (1L << 48) - 1;

其中multiplier和addend分别代表公式中的a和c，很好理解，但mask代表什么呢？其实，x & [(1L << 48)–1]与 x（mod 2^48）等价。解释如下：

x对于2的N次幂取余，由于除数是2的N次幂，如：

0001，0010，0100，1000。。。。

相当于把x的二进制形式向右移N位，此时移到小数点右侧的就是余数，如：

13 = 1101 8 = 1000

13 / 8 = 1.101，所以小数点右侧的101就是余数，化成十进制就是5

然而，无论是C语言还是java,位运算移走的数显然都一去不复返了。（什么，你说在CF寄存器中？好吧，太高端了点，其实还有更给力的方法）有什么好办法保护这些即将逝去的数据呢？

学着上面的mask，我们不妨试着把2的N次幂减一：

0000，0001，0011，0111，01111，011111。。。

怎么样，有启发了吗？

我们知道，某个数（限0和1）与1作与（&）操作，结果还是它本身；而与0作与操作结果总是0，即：

a & 1 = a, a & 0 = 0

而我们将x对2^N取余操作希望达到的目的可以理解为：

1、所有比2^N位（包括2^N那一位）高的位全都为0

2、所有比2^N低的位保持原样

因此， x & （2^N-1）与x（mod 2^N）运算等价，还是13与8的例子：

1101 % 1000 = 0101 1101 & 0111 = 0101

二者结果一致。

嘿嘿，讲明白了这个与运算的含义，我想上面那行代码的含义应该很明了了，就是线性同余公式的直接套用，其中a = 0x5DEECE66DL, c = 0xBL, m = 2^48，就可以得到一个48位的随机数，而且这个谨慎的工程师进行了迭代，增加结果的随机性。再把结果移位，就可以得到指定位数的随机数。

接下来我们研究一下更常用的一个函数——带参数n的nextInt：

Java代码

1. public int nextInt(int n) {
2. if (n <= 0)
3. throw new IllegalArgumentException("n must be positive");
4. if ((n & -n) == n) // i.e., n is a power of 2
5. return (int)((n * (long)next(31)) >> 31);
6. int bits, val;
7. do {
8. bits = next(31);
9. val = bits % n;
10. } while (bits - val + (n-1) < 0);
11. return val;
12. }

显然，这里基本的思路还是一样的，先调用next函数生成一个31位的随机数（int类型的范围），再对参数n进行判断，如果n恰好为2的方幂，那么直接移位就可以得到想要的结果；如果不是2的方幂，那么就关于n取余，最终使结果在[0,n)范围内。另外，do-while语句的目的应该是防止结果为负数。

你也许会好奇为什么(n & -n) == n可以判断一个数是不是2的次方幂，其实我也是研究了一番才弄明白的，其实，这主要与补码的特性有关：

众所周知，计算机中负数使用补码储存的（不懂什么是补码的自己百度恶补），举几组例子：

2 ：0000 0010 -2 ：1111 1110

8 ：0000 1000 -8 ：1111 1000

18 ：0001 0010 -18 ：1110 1110

20 ：0001 0100 -20 ：1110 1100

不知道大家有没有注意到，补码有一个特性，就是可以对于两个相反数n与-n，有且只有最低一个为1的位数字相同且都为1，而更低的位全为0，更高的位各不相同。因此两数作按位与操作后只有一位为1，而能满足这个结果仍为n的只能是原本就只有一位是1的数，也就是恰好是2的次方幂的数了。

不过个人觉得还有一种更好的判断2的次方幂的方法：

n & (n-1) == 0

感兴趣的也可以自己研究一下^o^。

好了，线性同余法就介绍到这了，下面简要介绍一下另一种同余法——乘同余法（Multiplicative congruential method）。

上文中的线性同余法，主要用来生成整数，而某些情景下，比如科研中，常常只需要（0，1）之间的小数，这时，乘同余法是更好的选择，它的基本公式和线性同余法很像：

Xn+1=（a*Xn ）(mod m ）

其实只是令线性公式中的c=0而已。只不过，为了得到小数，我们多做一步：

Yn = Xn/m

由于Xn是m的余数，所以Yn的值介于0与1之间，由此到（0，1）区间上的随机数列。

除此之外，还有混合同余法，二次同余法，三次同余法等类似的方法，公式类似，也各有优劣，在此不详细介绍了。

同余法优势在计算速度快，内存消耗少。但是，因为相邻的随机数并不独立，序列关联性较大。所以，对于随机数质量要求高的应用，特别是很多科研领域，并不适合用这种方法。

不要走开，下篇博客介绍一个更给力的算法——梅森旋转算法（Mersenne Twister），持续关注啊！