python动态规划解决矩阵连乘

矩阵连乘：给定n个矩阵：A1,A2,...,An，其中Ai与Ai+1是可乘的，i=1，2...，n-1。确定计算矩阵连乘积的计算次序，使得依此次序计算矩阵连乘积需要的数乘次数最少。输入数据为矩阵个数和每个矩阵规模，输出结果为计算矩阵连乘积的计算次序和最少数乘次数。

若A是一个p*q的矩阵，B是一个q*r的矩阵，则其乘积C=AB是一个p*r的矩阵。数乘次数是p*q*r.

动态规划算法与分治法类似，其基本思想也就是将待求解的问题分解成若干个子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解，简单概括为自顶向下分解，自底向上求解。与分治法不同的是，适合于用动态规划法求解的问题，经分解得到的子问题往往不是相互独立的，换句话说，就是前面解决过的子问题，在后面的子问题中又碰到了前面解决过的子问题，子问题之间是有联系的。如果用分治法，有些同样的子问题会被重复计算几次，这样就很浪费时间了。所以动态规划是为了解决分治法的弊端而提出的，动态规划的基本思想就是，用一个表来记录所有已经解决过的子问题的答案，不管该子问题在以后是否会被用到，只要它被计算过，就将其结果填入表中，以后碰到同样的子问题，就可以从表中直接调用该子问题的答案，而不需要再计算一次。具体的动态规划的算法多种多样，但他们都具有相同的填表式。

顺便说一下动态规划的适用场合，一般适用于解最优化问题，例如矩阵连乘问题、最长公共子序列、背包问题等等，通常动态规划的设计有4个步骤，结合矩阵连乘分析：

（1）.找出最优解的性质，并刻画其结构特征

　　　　这是设计动态规划算法的第一步，我们可以将矩阵连乘积AiAi+1……Aj记为A[i：j]。问题就是计算A[1：n]的最优计算次序。设这个计算次序在矩阵Ak和Ak+1之间将矩阵链断开，1<=k<n,使其完全加括号方式为（（A1……Ak）（AK+1……An）），这样就将原问题分解为两个子问题，，按此计算次序，计算A[1：n]的计算量就等于计算A[1：k]的计算量加上A[k+1：n]的计算量，再加上A[1：k]和A[k+1:n]相乘的计算量。计算A[1：n]的最优次序包含了计算A[1：k]和A[k+1：n]这两个子问题的最优计算次序，以此类推，将A[1：k]和A[k+1：n]递归的分解下去，求出每个子问题的最优解，子问题的最优解相乘便得到原问题的最优解。

（2）.递归地定义最优值

这是动态规划的第二步，对于矩阵连乘积的最优计算次序的问题，设计算A[i：j]，1<=i<=j<=n,所需要的最小数乘次数为m[i][j]，则原问题的最优值为m[1][n]。

当i=j时，A[i：j]=Ai为单一的矩阵，则无需计算，所以m[i][j]=0，i=j=1，2，……，n。即对应的二维表对角线上的值全为0。

当i<j时，这就需要用步骤（1）的最优子结构性质来计算m[i][j]。若计算A[i:j]的最优次序在Ak和Ak+1之间断开，i<=k<j,则m[i][j]=m[i][k]+m[k+1][j]+pi-1*pk*pj,k的位置只有j-i种可能，即k属于集合{i，i+1，……，j-1}，所以k是这j-i个位置中使计算量达到最小的那个位置。

所以m[i][j]可以递归地定义为 m[i][j]={ 0 i=j

min{m[i][k]+m[k+1][j]+pi-1*pk*pj } i<j ,i<=k<j }

将对应于m[i][j]的断开位置k记为s[i][j]，在计算出最优值m[i][j]后，可递归地由s[i][j]构造出相应的最优解

（3）.以自底向上的方式计算出最优值

动态规划的一大好处是，在计算的过程中，将已解决的子问题答案保存起来，每个子问题只计算一次，而后面的子问题需要用到前面已经解决的子问题，就可以从表中简单差出来，从而避免了大量的重复计算

import random
from pandas import *

input = int(input("输入矩阵数："))
matrix = [[0] * 2 for i in range(input)]
for i in range(input):                         #生成矩阵
    if i == 0:
        matrix[i][0] = random.randrange(100)
        matrix[i][1] = random.randrange(100)
    else:
        matrix[i][0] = matrix[i-1][1]
        matrix[i][1] = random.randrange(100)
m = [[0] * input for i in range(input)]         #记录连乘次数
s = [[0] * input for j in range(input)]         #记录括号位置
def MatrixMultiplication(inp):
    for i in range(inp):
        m[i][i] = 0
    for r in range(1, inp):
        for i in range(inp-r):
            j = i + r
            m[i][j] = m[i+1][j] + matrix[i][0] * matrix[i][1] * matrix[j][1]
            s[i][j] = i+1
            for k in range(i+1, j):
                judge = m[i][k] + m[k+1][j] + matrix[i][0] * matrix[k][1] * matrix[j][1]
                if judge < m[i][j]:
                    m[i][j] = judge
                    s[i][j] = k+1
def printmatrix(left, right):
    if left == right:
        print("A"+str(left+1), end='')
    else:
        print("(", end='')
        printmatrix(left, s[left][right]-1)
        printmatrix(s[left][right], right)
        print(")", end='')
MatrixMultiplication(input)
dm = DataFrame(m, index=list(range(1, input+1)), columns=list(range(1, input+1)))
ds = DataFrame(s, index=list(range(1, input+1)), columns=list(range(1, input+1)))
print(matrix)
print("数乘次数：\n", dm)
print("括号位置：\n", ds)
print("最终结果：")
printmatrix(0, input-1)