BZOJ.2194.快速傅立叶之二，FFT 卷积

题目链接

\(Descripiton\)

　　给定\(A[\ ],B[\ ]\)，求

\[C[k]=\sum_{i=k}^{n-1}A[i]*B[i-k]\ (0\leq k<n) \]

\(Solution\)

　　(先令\(n=n-1\))

　　首先往卷积上想。。

　　\(i\)与\(i-k\)的差值是一定的，但是卷积的形式是

\[C[k]=\sum_{i=1}^k A[i]*B[k-i] \]

　　即\(i\)与\(k-i\)的和是一定的。

　　于是考虑把一个数组反转一下，这里把\(B[\ ]\)反转，那么

\[C[k]=\sum_{i=k}^n A[i]*B[n+k-i] \]

　　这样\(i\)与\(n+k-i\)的和就是一定的了，为\(n+k\)，于是令

\[D[n+k]=\sum_{i=k}^n A[i]*B[n+k-i] \]

　　这样就可以\(FFT\)求\(D[\ ]\)了。

\[D[n+k]=\sum_{i=0}^{n+k}A[i]*B[n+k-i] \]

　　\(i=0\sim k-1\)和\(i=n+1\sim n+k\)时，要么\(A[i]=0\)要么\(B[i]=0\)，没有影响。

　　所以最后的\(C[k]=D[n+k]\)。

　　另外这个好像可以(以后)再看看。

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#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <algorithm>
#define gc() getchar()
const int N=263000;//2^{18}=262144 > 2*1e5
const double PI=acos(-1);

int n;
struct Complex
{
        double x,y;
        Complex() {}
        Complex(double x,double y):x(x),y(y) {}
        Complex operator + (const Complex &a)const{
                return Complex(x+a.x, y+a.y);
        }
        Complex operator - (const Complex &a)const{
                return Complex(x-a.x, y-a.y);
        }
        Complex operator * (const Complex &a)const{
                return Complex(x*a.x-y*a.y, x*a.y+y*a.x);
        }
}A[N],B[N],D[N];

inline int read()
{
        int now=0;register char c=gc();
        for(;!isdigit(c);c=gc());
        for(;isdigit(c);now=now*10+c-'0',c=gc());
        return now;
}
void FFT(Complex *a,int lim,int opt)
{
        for(int i=0,j=0; i<lim; ++i)
        {
                if(i>j) std::swap(a[i],a[j]);
                for(int l=lim>>1; (j^=l)<l; l>>=1);
        }
        for(int i=2; i<=lim; i<<=1)
        {
                int mid=i>>1;
                Complex Wn(cos(2.0*PI/i),opt*sin(2.0*PI/i)),t;
                for(int j=0; j<lim; j+=i)
                {
                        Complex w(1,0);
                        for(int k=0; k<mid; ++k,w=w*Wn)
                                a[j+mid+k]=a[j+k]-(t=w*a[j+mid+k]),
                                a[j+k]=a[j+k]+t;
                }
        }
}

int main()
{
        n=read()-1;
        for(int i=0; i<=n; ++i) A[i].x=read(),B[n-i].x=read();
        int lim=1;
        while(lim <= n<<1) lim<<=1;
        FFT(A,lim,1), FFT(B,lim,1);
        for(int i=0; i<lim; ++i) A[i]=A[i]*B[i];
        FFT(A,lim,-1);
        for(int i=0; i<=n; ++i) printf("%d\n",(int)(A[i+n].x/lim+0.5));

        return 0;
}