测度论与几率论笔记4:测度空间上的积分(上)

2020年06月05日 阅读数:206
这篇文章主要向大家介绍测度论与几率论笔记4:测度空间上的积分(上),主要内容包括基础应用、实用技巧、原理机制等方面,希望对大家有所帮助。

测度空间的积分

接下来咱们定义测度空间上的积分,方法仍是采用典型方法,须要三步:
第一步:定义非负简单函数的积分
第二步:因为非负可测函数均可由渐升非负简单函数列逼近,由此定义非负可测函数的积分
第三步:将通常可测函数分解为正负部,其积分为正部的积分减去负部的积分
接下来的讨论,如无特别说明,测度空间为 ( X , F , μ ) (X,\mathscr{F},\mu) F \mathscr{F} 中的集合称为可测集html

非负简单函数的积分

对非负简单函数 f = k = 1 n c k I E k \displaystyle f=\sum_{k=1}^nc_kI_{E_k} E 1 , , E n E_1,\cdots,E_n 为两两不交的可测集, X = k = 1 n E k \displaystyle X=\bigcup_{k=1}^nE_k c 1 , , c n c_1,\cdots,c_n 为非负实数,定义其积分为 X f d μ = k = 1 n c k μ ( E k ) \int_Xfd\mu=\sum_{k=1}^nc_k\mu(E_k) web

  1. 实际上,非负简单函数的表示方法不惟一,所以要证实这必定义是良定义,也就是说,不论表示为什么种形式,积分的定义是惟一。
    咱们设 f = k = 1 n c k I E k = k = 1 m d k I F k \displaystyle f=\sum_{k=1}^nc_kI_{E_k}=\sum_{k=1}^md_kI_{F_k} ,其中, E 1 , , E n E_1,\cdots,E_n 为两两不交的可测集, F 1 , , F m F_1,\cdots,F_m 为两两不交的可测集, X = k = 1 n E k = k = 1 m F k \displaystyle X=\bigcup_{k=1}^nE_k=\bigcup_{k=1}^m F_k c 1 , , c n , d 1 , , d m c_1,\cdots,c_n,d_1,\cdots,d_m 都是非负实数。设 I 1 = k = 1 n c k μ ( E k ) , I 2 = k = 1 m d k μ ( F k ) \displaystyle I_1=\sum_{k=1}^nc_k\mu(E_k),I_2=\sum_{k=1}^md_k\mu(F_k) 。则 f f 还能够表示为 f = i = 1 n j = 1 m c i I E i F j = i = 1 n j = 1 m d j I E i F j f=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^mc_iI_{E_i\cap F_j}=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^md_jI_{E_i\cap F_j} 这两种方法是同一种表示方法1,在该表示法下的积分为 I 3 = i = 1 n j = 1 m c i μ ( E i F j ) = i = 1 n j = 1 m d j μ ( E i F j ) I_3=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^mc_i\mu(E_i\cap F_j)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^md_j\mu(E_i\cap F_j) 2 { E i F j : i = 1 , 2 , , n , j = 1 , 2 , , m } \{E_i\cap F_j:i=1,2,\cdots,n,j=1,2,\cdots,m\} 是两两不交的可测集,而且 X = i = 1 n j = 1 m E i F j \displaystyle X=\bigcup_{i=1}^n\bigcup_{j=1}^mE_i\cap F_j ,而 I 3 = i = 1 n j = 1 m c i μ ( E i F j ) = i = 1 n c i j = 1 m μ ( E i F j ) = i = 1 n c i μ ( E i ) = I 1 I_3=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^mc_i\mu(E_i\cap F_j)=\sum_{i=1}^nc_i\sum_{j=1}^m\mu(E_i\cap F_j)=\sum_{i=1}^nc_i\mu(E_i)=I_1 同理可证 I 3 = I 2 I_3=I_2 ,故 I 1 = I 2 I_1=I_2 app

  2. 非负简单函数积分的性质:
    性质1: A A 是可测集,则 X I A d μ = μ ( A ) \displaystyle\int_X I_Ad\mu=\mu(A)
    性质2: 对任意的非负简单函数 f f X f d μ 0 \displaystyle \int_X fd\mu\ge 0
    性质3:(半线性性质) 对任意的非负简单函数 f , g f,g ,对任意的非负实数 a , b a,b a f + b g af+bg 也是非负简单函数,而且 X ( a f + b g ) d μ = a X f d μ + b X g d μ \int_X(af+bg)d\mu=a\int_Xfd\mu+b\int_Xgd\mu 性质4:(不等式性质) f , g f,g 是非负简单函数, f g f\le g ,则 X f d μ X g d μ \int_X fd\mu\le \int_X gd\mu 性质5: { f n } \{f_n\} 是渐升的非负简单函数列, g g 是非负简单函数,而且 g lim n f n \displaystyle g\le \lim_{n\to\infty} f_n ,则有 X g d μ lim n X f n d μ \int_Xgd\mu\le\lim_{n\to\infty}\int_X f_nd\mu ide

非负简单函数性质的证实:仅证实性质3和性质5,性质4的证实思路和性质3相似,而性质1,2是显然的
性质3的证实:设 f = k = 1 n c k I E k , g = k = 1 m d k I F k \displaystyle f=\sum_{k=1}^nc_kI_{E_k},g=\sum_{k=1}^md_kI_{F_k} ,其中 E 1 , , E n E_1,\cdots,E_n 为两两不交的可测集, F 1 , , F m F_1,\cdots,F_m 为两两不交的可测集,而且 X = k = 1 n E k = k = 1 m F k \displaystyle X=\bigcup_{k=1}^nE_k=\bigcup_{k=1}^mF_k c 1 , , c n , d 1 , , d m c_1,\cdots,c_n,d_1,\cdots,d_m 为非负实数,则 a f + b g = i = 1 n j = 1 m ( a c i + b d j ) I E i F j af+bg=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m(ac_i+bd_j)I_{E_i\cap F_j} X ( a f + b g ) d μ = i = 1 n j = 1 m ( a c i + b d j ) μ ( E i F j ) = a i = 1 n j = 1 m c i μ ( E i F j ) + b i = 1 n j = 1 m d j μ ( E i F j ) = a i = 1 n c i j = 1 m μ ( E i F j ) + b j = 1 m d j i = 1 n μ ( E i F j ) = a i = 1 n c i μ ( E i ) + b j = 1 m d j μ ( F j ) = a X f d μ + b X g d μ \begin{aligned} &\int_X(af+bg)d\mu=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m(ac_i+bd_j)\mu(E_i\cap F_j)\\ =&a\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^mc_i\mu(E_i\cap F_j)+b\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^md_j\mu(E_i\cap F_j)\\ =&a\sum_{i=1}^nc_i\sum_{j=1}^m\mu(E_i\cap F_j)+b\sum_{j=1}^md_j\sum_{i=1}^n\mu(E_i\cap F_j)\\ =&a\sum_{i=1}^nc_i\mu(E_i)+b\sum_{j=1}^md_j\mu(F_j)\\ =&a\int_X fd\mu+b\int_X g d\mu \end{aligned} 性质5的证实: 对于任意的 c ( 0 , 1 ) c\in (0,1) ,定义 A n = { f n c g } B n = { f n < c g } A_n=\{f_n\ge cg\}\\ B_n=\{f_n < cg\} X f n d μ = X f n I A n d μ + X f n I B n d μ X f n I A n d μ \int_X f_nd\mu =\int_Xf_nI_{A_n}d\mu+\int_X f_nI_{B_n}d\mu\ge \int_Xf_nI_{A_n}d\mu 因为 { f n } \{f_n\} 是渐升列,故 E 1 E 2 E 3 E n E_1\subset E_2\subset E_3\subset \cdots\subset E_n\subset \cdots ,而且, E n X E_n\uparrow X ,咱们证实 X g I A n d μ X g d μ \displaystyle \int_X gI_{A_n}d\mu\uparrow \int_X g d\mu ,设 g = k = 1 n c k I E k \displaystyle g=\sum_{k=1}^nc_kI_{E_k} ,其中 E 1 , , E n E_1,\cdots,E_n 为两两不交的可测集,而且 X = k = 1 n E k \displaystyle X=\bigcup_{k=1}^n E_k c 1 , , c n c_1,\cdots,c_n 为非负实数,则 g I A n = k = 1 n c k I E k A n + 0. I B n gI_{A_n}=\sum_{k=1}^nc_kI_{E_k\cap A_n}+0.I_{B_n} X g I A n d μ = k = 1 n c k μ ( E k A n ) \int_XgI_{A_n}d\mu=\sum_{k=1}^n c_k \mu(E_k\cap A_n) 由测度的下连续性,就有
lim n X g I A n d μ = lim n k = 1 n c k μ ( E k A n ) = k = 1 n c k lim n μ ( E k A n ) = k = 1 n c k μ ( E k ) = X g d μ \begin{aligned} &\lim_{n\to\infty}\int_XgI_{A_n}d\mu=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n c_k \mu(E_k\cap A_n)\\=&\sum_{k=1}^n c_k\lim_{n\to\infty}\mu(E_k\cap A_n)=\sum_{k=1}^nc_k\mu(E_k)=\int_Xgd\mu \end{aligned} 而且 X f n I A n d μ c X g I A n d μ \int_Xf_nI_{A_n}d\mu\ge c\int_XgI_{A_n}d\mu X f n d μ c X g I A n d μ \int_X f_nd\mu\ge c\int_XgI_{A_n}d\mu 两边令 n n\to\infty ,有 lim n X f n d μ c X g d μ \lim_{n\to\infty}\int_X f_nd\mu\ge c\int_Xgd\mu 再令 c 1 c\to 1 ,就有 lim n X f n d μ X g d μ \lim_{n\to\infty}\int_X f_nd\mu\ge \int_Xgd\mu svg

非负可测函数的积分

由简单函数逼近定理,对任意非负可测函数 f f ,存在渐升的非负简单函数列 { f n } \{f_n\} f n f f_n\uparrow f ,则咱们能够定义非负可测函数 f f 的积分为 X f d μ = lim n X f n d μ \int_Xfd\mu=\lim_{n\to\infty}\int_Xf_nd\mu 函数

  1. 该定义是良定义:所谓的良定义是指:不管选取何种渐升的非负简单函数列 { f n } \{f_n\} ,只要 f n f f_n\uparrow f ,所获得的积分值是相等的。对两个非负渐升的简单函数列 { f n } \{f_n\} { g n } \{g_n\} ,而且到处成立 lim n f n = lim n g n \displaystyle \lim_{n\to\infty}f_n=\lim_{n\to\infty}g_n ,那么对任意的 m 1 m\ge 1 ,都有 f m lim n g n g m lim n f n f_m\le \lim_{n\to\infty} g_n\\ g_m\le \lim_{n\to\infty} f_n 所以,由非负简单函数积分的性质,就有 X f m d μ lim n X g n d μ X g m d μ lim n X f n d μ \int_Xf_md\mu\le\lim_{n\to\infty}\int_X g_nd\mu\\ \int_Xg_md\mu\le \lim_{n\to\infty}\int_X f_nd\mu 两边令 m m\to\infty ,就有 lim m X f m d μ lim n X g n d μ lim m X g m d μ lim n X f n d μ \lim_{m\to\infty}\int_X f_md\mu\le \lim_{n\to\infty}\int_Xg_nd\mu\\ \lim_{m\to\infty}\int_X g_md\mu\le \lim_{n\to\infty}\int_X f_nd\mu 这就获得 lim n X f n d μ = lim n X g n d μ \lim_{n\to\infty}\int_X f_nd\mu=\lim_{n\to\infty}\int_X g_nd\mu
  2. 由1,非负可测函数的积分与所选取的渐升非负简单函数列无关,故计算积分值时,选取任意的渐升非负简单函数列都是能够的。若是选取的是咱们证实简单函数逼近定理时的渐升非负简单函数列,那么就有 X f d μ = lim n [ k = 1 n 2 n 1 k 2 n μ { k 2 n f < k + 1 2 n } + n μ { f n } ] \int_Xfd\mu=\lim_{n\to\infty}\left[\sum_{k=1}^{n2^n-1}\frac{k}{2^n}\mu\{\frac{k}{2^n}\le f < \frac{k+1}{2^n}\}+n\mu\{f\ge n\}\right] 这里选取的非负简单函数列为 { h n } \{h_n\} ,其中 h n = k = 0 n . 2 n 1 k 2 n I { k 2 n f < k + 1 2 n } + n I { f n } h_n=\sum_{k=0}^{n.2^n-1}\frac{k}{2^n}I_{\{\frac{k}{2^n}\le f < \frac{k+1}{2^n}\}}+nI_{\{f\ge n\}} 后面沿用这个记号
  3. 该定义还有一个等价定义 X f d μ = sup { X g d μ : g f , g } \int_Xfd\mu=\sup\{\int_Xgd\mu:g\le f,g是非负简单函数\}

证:咱们记 I = X f d μ = sup { X g d μ : g f , g } I= \int_Xfd\mu=\sup\{\int_Xgd\mu:g\le f,g是非负简单函数\} 任取一列渐升的非负简单函数列 { f n } \{f_n\} ,而且 f n f f_n\uparrow f ,则 f n f f_n\le f ,由 I I 的定义,就有 X f n d μ I \int_X f_nd\mu\le I n n\to\infty ,就有 X f d μ I \int_X fd\mu \le I 反之,咱们分两种状况讨论:
情形1:当 I = + I=+\infty 时,存在非负简单函数列 { f n } \{f_n\} f n f f_n\le f ,而且 lim n X f n d μ = + \lim_{n\to\infty}\int_X f_nd\mu=+\infty g n = max { f 1 , f 2 , , f n , h n } g_n=\max\{f_1,f_2,\cdots,f_n,h_n\} ,容易验证 g n g_n 也是非负简单函数,而且 { g n } \{g_n\} 是渐升的,同时,因为 f 1 f , f 2 f , , f n f , h n f f_1\le f,f_2\le f,\cdots,f_n\le f,h_n\le f g n f g_n\le f ,而 g n h n g_n\ge h_n ,由夹逼准则, lim n g n = f \displaystyle \lim_{n\to\infty}g_n= f ,则 lim n X g n d μ = + = X f d μ \lim_{n\to\infty}\int_X g_nd\mu=+\infty=\int_X fd\mu 情形2:当 I < + I<+\infty 时,存在非负简单函数列 { f n } \{f_n\} f n f f_n\le f ,而且 X f n d μ > I 1 n \int_X f_nd\mu>I-\frac{1}{n} 如同情形1同样构造 { g n } \{g_n\} ,则 I 1 n < X f n d μ X g n d μ I I-\frac{1}{n}<\int_Xf_nd\mu\le\int_X g_nd\mu\le I 由夹逼准则 lim n X g n d μ = X f d μ = I \lim_{n\to\infty}\int_Xg_nd\mu=\int_X fd\mu=I spa

  1. f f 是一个非负简单函数,则 X f d μ \displaystyle\int_Xfd\mu 是良定义的,也就是说,不管采起上节的定义,仍是本节的定义,获得的积分值是一致的,这由注3容易验证,这里省略
  2. 非负可测函数积分的性质:
    性质1(非负性) f f 是非负可测函数,则 X f d μ 0 \displaystyle\int_X fd\mu\ge 0
    性质2(线性性质) f , g f,g 是两个非负可测函数, a , b a,b 是两个非负实数,则 X ( a f + b g ) d μ = a X f d μ + b X g d μ \int_X(af+bg)d\mu=a\int_Xfd\mu+b\int_Xgd\mu 性质3(不等式性质) f , g f,g 是两个非负可测函数,而且到处成立 f g f\le g ,则 X f d μ X g d μ \int_X fd\mu\le \int_X gd\mu

通常可测函数的积分

对于通常的可测函数,咱们定义其积分为 X f d μ = X f + d μ X f d μ \int_Xfd\mu=\int_X f^+d\mu-\int_X f^-d\mu 固然前提是要这个式子有意义,这个式子有意义的充要条件是 min { X f + d μ , X f d μ } < + \min\{\int_X f^+d\mu,\int_X f^-d\mu\}<+\infty 此时咱们称 f f 积分存在,若是 max { X f + d μ , X f d μ } < + \max\{\int_X f^+d\mu,\int_X f^-d\mu\}<+\infty 则这个积分仍是实数,此时咱们称 f f 可积orm

  1. 任意可测集上的积分:若是 A A 是可测集, f f 是可测函数,则若是 f I A fI_A 积分存在或可积,就称 f f A A 上积分存在或可积,积分值记为 A f d μ = X f I A d μ \int_Afd\mu=\int_X fI_Ad\mu
  2. 几乎到处定义的可测函数的积分: f f 虽然不是可测函数,但其与可测函数 h h 几乎到处相等,若是 h h 积分存在或可积,咱们称 f f 积分存在或可积,积分值为 X h d μ \int_X hd\mu ,后面咱们将证实这必定义是良定义

积分的性质

定理4.1(可积的充要条件) f f 为可测函数.
(1) 若是 f f 的积分存在,则 X f d μ X f d μ \displaystyle\left|\int_Xfd\mu\right|\le \int_X|f|d\mu
(2) f f 可积当且仅当 f |f| 可积
(3) 若是 f f 可积,则 f f 几乎到处有限
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证:
(1)若是 X f d μ = + \displaystyle\int_Xfd\mu=+\infty ,则 X f + d μ = + , X f d μ < + \displaystyle\int_Xf^+d\mu=+\infty,\int_Xf^-d\mu<+\infty ,所以 X f d μ = X f + d μ + X f d μ = + \int_X|f|d\mu=\int_Xf^+d\mu+\int_Xf^-d\mu=+\infty X f d μ = X f d μ \left|\int_Xfd\mu\right|=\int_X|f|d\mu X f d μ = \displaystyle\int_Xfd\mu=-\infty 时也是相似的,当 f f 可积时,由三角不等式 X f d μ = X f + d μ X f d μ X f + d μ + X f d μ = X f d μ \left|\int_Xfd\mu\right|=\left|\int_Xf^+d\mu-\int_Xf^-d\mu\right|\le\int_Xf^+d\mu+\int_Xf^-d\mu=\int_X|f|d\mu (2) f f 可积的充要条件是 X f + d μ < + , X f d μ < + \int_Xf^+d\mu<+\infty,\int_Xf^-d\mu<+\infty X f d μ = X f + d μ + X f d μ \int_X|f|d\mu=\int_Xf^+d\mu+\int_Xf^-d\mu 故由此不可贵出 f f 可积当且仅当 f |f| 可积
(3)若是 f f 非负, f f 不几乎到处有限,那么 μ { f = + } = μ ( n = 1 { f n } ) = δ > 0 \displaystyle\mu\{f=+\infty\}=\mu\left(\bigcap_{n=1}^\infty\{f\ge n\}\right)=\delta>0 ,那么由单调性,对任意的 n 1 n\ge 1 ,都有 μ { f n } μ { f = + } = δ \mu\{f\ge n\}\ge \mu\{f=+\infty\}=\delta 所以 X f d μ = lim n [ k = 1 n . 2 n 1 k n . 2 n μ { k n . 2 n f < k + 1 n . 2 n } + n μ { f n } ] lim n n μ { f n } δ lim n n = + \begin{aligned} &\int_Xfd\mu=\lim_{n\to\infty}\left[\sum_{k=1}^{n.2^n-1}\frac{k}{n.2^n}\mu\{\frac{k}{n.2^n}\le f<\frac{k+1}{n.2^n}\}+n\mu\{f\ge n\}\right]\\\ge&\lim_{n\to\infty}n\mu\{f\ge n\}\ge \delta\lim_{n\to\infty}n=+\infty \end{aligned} f f 不可积,所以,若是 f f 可积,则 f f 几乎到处有限
对通常的可测函数, f f 可积的充要条件是 f |f| 可积,则 f f 可积, f |f| 几乎到处有限, f f 也几乎到处有限htm

定理4.2 f , g f,g 是可测函数.
(1)对任意的可测集 A A ,而且 μ ( A ) = 0 \mu(A)=0 ,有 A f d μ = 0 \int_Afd\mu=0 (2)若是 f , g f,g 积分存在且 f g a . e f\ge g \quad a.e ,则 X f d μ X g d μ \displaystyle\int_Xfd\mu\ge\int_Xgd\mu
(3)若是 f , g f,g 几乎到处相等,那么只要其中一个积分存在,另外一个积分也存在并且两个积分值相等

证:
(1) 若是 f f A A 上非负,对任意的非负简单函数 g f I A g\le fI_A ,则 g g 几乎到处为0,显然 X g d μ = 0 \displaystyle\int_Xgd\mu=0 ,故 A f d μ = 0 \displaystyle\int_Afd\mu=0 ,对通常的可测函数 f f f + I A , f I A f^+I_A,f^-I_A 也几乎到处为0,由此可得 X ( f I A ) + d μ = X f + I A d μ = 0 , X ( f I A ) d μ = X f I A d μ = 0 \displaystyle\int_X(fI_A)^+d\mu=\int_Xf^+I_Ad\mu=0,\int_X(fI_A)^-d\mu=\int_Xf^-I_Ad\mu=0 ,故 A f d μ = X f I A d μ = 0 \displaystyle\int_Afd\mu=\int_XfI_Ad\mu=0
(2) 若是 f , g f,g 非负, f g a . e f\ge g \quad a.e ,则令 A = { f g } B = { f < g } A=\{f\ge g\}\\ B=\{f<g\} μ ( B ) = 0 \mu(B)=0 ,而且 X f d μ = X f I A d μ + X f I B d μ = X f I A d μ X g d μ = X g I A d μ + X g I B d μ = X g I A d μ \int_Xfd\mu=\int_XfI_Ad\mu+\int_XfI_Bd\mu=\int_XfI_Ad\mu\\ \int_Xgd\mu=\int_XgI_Ad\mu+\int_XgI_Bd\mu=\int_XgI_Ad\mu f I A g I B fI_A\ge gI_B X f d μ = X f I A d μ X g I A d μ = X g d μ \int_Xfd\mu=\int_XfI_Ad\mu\ge \int_XgI_Ad\mu=\int_Xgd\mu f , g f,g 为通常可测函数时, f g a . e . f\ge g \quad a.e. ,则不难推出 f + g + , f g a . e . f^+\ge g^+,f^-\le g^-\quad a.e. ,就有 X f + d μ X g + d μ X f d μ X g d μ \int_Xf^+d\mu\le \int_Xg^+d\mu\\ \int_Xf^-d\mu\ge \int_Xg^-d\mu 就能够证得结论
(3) f = g a . e . f=g\quad a.e. 等价于 f g , f g a . e f\ge g,f\le g\quad a.e ,再套用结论(2)便可

f f 为几乎到处定义的可测函数,那么设 f = g = h f=g=h g , h g,h 为可测函数,那么 g , h g,h 几乎到处相等,那么应该同时积分存在或可积,而且积分值相等,那么对 f f 的积分定义是良定义,也就是说,不与所选择的可测函数有关。定理4.2还说明了:若是在一个零测集上改变可测函数的值,不改变积分的存在性,不改变可积性,不改变积分的值。

定理4.3 f f 是可测函数,若是 f f 几乎到处为0,则 X f d μ = 0 \displaystyle\int_Xfd\mu=0 ,反正,若是 f 0 a . e . f\ge 0\quad a.e. X f d μ = 0 \displaystyle\int_Xfd\mu=0 ,则 f = 0 a . e f=0 \quad a.e

证:
(1) 若是 f = 0 a . e . f = 0 \quad a.e. ,则 f = f I { f 0 } f=fI_{\{f\neq 0\}} ,而 μ { f 0 } = 0 \mu\{f\neq 0\}=0 ,所以 X f d μ = X f I { f 0 } d μ = 0 \int_X fd\mu=\int_X fI_{\{f\neq 0\}}d\mu=0 (2) 若是 f 0 f\ge 0 到处成立, X f d μ = 0 \displaystyle\int_Xfd\mu=0 ,若是 f f 不几乎到处为0,则 μ { f 0 } = μ ( n = 1 { f 1 n } ) > 0 \mu\{f\neq 0\}=\mu\left(\bigcup_{n=1}^\infty\{f\ge\frac{1}{n}\}\right)>0 则存在正整数 n 0 n_0 ,有 μ { f 1 n 0 } > 0 \mu\{f\ge\frac{1}{n_0}\}>0 f 1 n 0 I { f 1 n 0 } f\ge \frac{1}{n_0}I_{\{f\ge \frac{1}{n_0}\}} 所以 X f d μ μ { f 1 n 0 } n 0 > 0 \int_Xfd\mu\ge\frac{\mu\{f\ge \frac{1}{n_0}\}}{n_0}>0 矛盾,所以 f = 0 a . e . f=0\quad a.e.
而若是 f 0 a . e f\ge 0\quad a.e ,而且 X f d μ = 0 \displaystyle \int_X fd\mu=0 ,则令 A = { f 0 } B = { f < 0 } A=\{f\ge 0\}\\ B=\{f<0\} 因为 μ ( B ) = 0 \mu(B)=0 ,就有 X f d μ = X f I A d μ + X f I B d μ = X f I A d μ = 0 \int_Xfd\mu=\int_XfI_Ad\mu+\int_XfI_Bd\mu=\int_XfI_Ad\mu=0 f I A 0 fI_A\ge 0 到处成立,所以, f I A = 0 , f = f I A a . e . fI_A=0,f=fI_A\quad a.e. ,故 f = 0 a . e f=0\quad a.e

定理4.4 f , g f,g 是积分存在的可测函数.
(1)对任意的 a R a\in R a f af 的积分存在,而且 X ( a f ) d μ = a X f d μ \displaystyle\int_X (af)d\mu=a\int_Xfd\mu
(2)若是 X f d μ + X g d μ \displaystyle\int_Xfd\mu+\int_Xgd\mu 有意义,那么 f + g f+g 为几乎到处定义的可测函数,积分存在,而且 X ( f + g ) d μ = X f d μ + X g d μ \int_X(f+g)d\mu=\int_Xfd\mu+\int_Xgd\mu

证:
(1) a = 0 a=0 时, a f = 0 af=0 ,则结论是显然的,咱们就 a > 0 a>0 的状况给出证实, a < 0 a<0 状况下的证实是相似的。
a f > 0 af>0 等价于 f > 0 f>0 ,故 ( a f ) + = a f + , ( a f ) = a f (af)^+=af^+,(af)^-=af^- 再利用非负可测函数积分的性质便可证得(1)
(2)
①先证实 f + g f+g 几乎到处有定义,分三种状况讨论:
情形1 X f d μ = + , X g d μ > \displaystyle \int_Xfd\mu=+\infty,\int_Xgd\mu>-\infty ,则 X f + d μ = + , X f d μ < + , X g d μ < + \int_Xf^+d\mu=+\infty,\int_Xf^-d\mu<+\infty,\int_Xg^-d\mu<+\infty X f d μ < + \displaystyle\int_Xf^-d\mu<+\infty f > a . e . f>-\infty\quad a.e. ,由 X g d μ < + \displaystyle\int_Xg^-d\mu<+\infty g > a . e . g>-\infty\quad a.e. f + g f+g 无心义有两种状况:一是 f = + , g = f=+\infty,g=-\infty ,二是 f = , g = + f=-\infty,g=+\infty ,令 A = { f = + , g = } { f = , g = + } A=\{f=+\infty,g=-\infty\}\cup\{f=-\infty,g=+\infty\} 那么 0 μ ( A ) μ { f = + , g = } + μ { f = , g = + } μ { g = } + μ { f = } = 0 \begin{aligned} 0\le& \mu(A)\le\mu\{f=+\infty,g=-\infty\}+\mu\{f=-\infty,g=+\infty\}\\\le&\mu\{g=-\infty\}+\mu\{f=-\infty\}=0 \end{aligned} μ ( A ) = 0 \mu(A)=0 ,可见 f + g f+g 到处有定义, X f d μ > , X g d μ = + \displaystyle\int_Xfd\mu>-\infty,\int_Xgd\mu=+\infty 情形同理
情形2 X f d μ = , X g d μ < + \displaystyle\int_Xfd\mu=-\infty,\int_Xgd\mu<+\infty 时,则有 X f d μ = + , X f + d μ < + , X g + d μ < + \int_Xf^-d\mu=+\infty,\int_Xf^+d\mu<+\infty,\int_Xg^+d\mu<+\infty 能够推得 f < + , g < + a . e . f<+\infty,g<+\infty\quad a.e. 因而 μ ( A ) = 0 \mu(A)=0 f + g f+g 几乎到处有定义, X f d μ < + , X g d μ = \displaystyle\int_Xfd\mu<+\infty,\int_Xgd\mu=-\infty 情形同理
情形3 f , g f,g 都可积,此时 f , g f,g 几乎到处有限,显然 μ ( A ) = 0 \mu(A)=0 f + g f+g 几乎到处有定义
f + g = ( f + g ) I A c a . e f+g=(f+g)I_{A^c}\quad a.e f + g f+g 为几乎到处定义的可测函数
②再证实 X ( f + g ) d μ = X f d μ + X g d μ \displaystyle\int_X(f+g)d\mu=\int_Xfd\mu+\int_Xgd\mu
咱们证实在 f + g f+g 有意义的状况下,等式 ( f + g ) + + f + g = ( f + g ) + f + + g + (f+g)^++f^-+g^-=(f+g)^-+f^++g^+ 成立,仍是分三种状况讨论:
情形1: f + g = + f+g=+\infty ,此时有两种可能, f = + , g > f=+\infty,g>-\infty f > , g = + f>-\infty,g=+\infty ,仅证实前一种状况,后一种是相似的:
若是 f + g = + , f = + , g > f+g=+\infty,f=+\infty,g>-\infty ,则 ( f + g ) + = + , ( f + g ) = 0 f + = + , f = 0 g + 0 , g 0 (f+g)^+=+\infty,(f+g)^-=0\\ f^+=+\infty,f^-=0\\ g^+\ge0,g^-\ge 0 由此能够获得等式两边均为 + +\infty
情形2: f + g = f+g=-\infty 的证实与情形1相似,等式也成立
情形3: f + g < + |f+g|<+\infty ,则 f , g f,g 都是实数,等式天然成立
对上面的等式两边积分,就能够获得 X ( f + g ) + d μ + X f d μ + X g d μ = X ( f + g ) d μ + X f + d μ + X g + d μ \int_X(f+g)^+d\mu+\int_Xf^-d\mu+\int_Xg^-d\mu=\int_X(f+g)^-d\mu+\int_Xf^+d\mu+\int_Xg^+d\mu 分状况讨论:
情形1:若是 X f + d μ = + \displaystyle \int_X f^+d\mu=+\infty ,那么 X f d μ = + , X g d μ > \displaystyle\int_X fd\mu=+\infty,\int_X gd\mu>-\infty ,所以, X f d μ < + , X g d μ < + \displaystyle\int_X f^-d\mu<+\infty,\int_X g^-d\mu<+\infty ,因为等式成立, X ( f + g ) + d μ = + \displaystyle\int_X(f+g)^+d\mu=+\infty ,而 ( f + g ) f + g (f+g)^-\le f^-+g^- 所以 X ( f + g ) d μ X f d μ + X g d μ < + \int_X(f+g)^-d\mu\le \int_X f^-d\mu+\int_X g^-d\mu<+\infty 所以 f + g f+g 积分存在,而且 X ( f + g ) d μ = + = X f d μ + X g d μ \int_X(f+g)d\mu=+\infty=\int_X fd\mu+\int_X gd\mu X g d μ = + \displaystyle\int_X gd\mu=+\infty 的情形也是相似的
情形2: X f d μ = + X g d μ = + \displaystyle \int_X f^-d\mu=+\infty或\int_X g^-d\mu=+\infty 情形的证实同情形1相似,再也不重复
情形3: f , g f,g 都可积,那么,由 ( f + g ) + f + + g + ( f + g ) f + g (f+g)^+\le f^++g^+\\ (f+g)^-\le f^-+g^- 能够知道 f + g f+g 也可积,移项便可证得等式

定理4.5 f , g f,g 是可积函数.
(1)若是 A f d μ A g d μ \displaystyle \int_Afd\mu \ge \int_A gd\mu 对任意可测集 A A 都成立,则 f g a . e f\ge g\quad a.e
(2)若是 A f d μ = A g d μ \displaystyle \int_Afd\mu = \int_A gd\mu 对任意的可测集 A A 均成立,则 f = g a . e . f=g \quad a.e.

证:
(1)若是 f g a . e . f\ge g\quad a.e. 不成立,那么 μ { f < g } = μ ( n = 1 {