Python小白的数学建模课-B3. 新冠疫情 SIS模型

2021年07月23日 阅读数:12
这篇文章主要向大家介绍Python小白的数学建模课-B3. 新冠疫情 SIS模型,主要内容包括基础应用、实用技巧、原理机制等方面,希望对大家有所帮助。

传染病的数学模型是数学建模中的典型问题,常见的传染病模型有 SI、SIR、SIRS、SEIR 模型。html

SIS 模型型将人群分为 S 类和 I 类,考虑患病者能够治愈而变成易感者,但不考虑免疫期。python

本文详细给出了 SIS 模型的建模、例程、运行结果和模型分析,让小白都能懂。算法

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1. 疫情传播 SIS 模型

传染病动力学是对传染病进行定量研究的重要方法。它依据种群繁衍迁移的特性、传染病在种群内产生及传播的机制、医疗与防控条件等外部因素,创建能够描述传染病动力学行为的数学模型,经过对模型进行定性、定量分析和数值计算,模拟传染病的传播过程,预测传染病的发展趋势,研究防控策略的做用。函数

1.1 SI 模型

SI 模型把人群分为易感者(S类)和患病者(I类)两类,易感者(S类)与患病者(I类)有效接触即被感染,变为患病者,无潜伏期、无治愈状况、无免疫力。工具

SI 模型适用于只有易感者和患病者两类人群,且没法治愈的疾病。spa

按照 SI 模型,最终全部人都会被传染而变成病人,这是由于模型中没有考虑病人能够治愈。所以只能是健康人患病,而患病者不能恢复健康(甚至也不会死亡,而是不断传播疫情),因此终将所有被传染。code


1.2 SIS 模型

SIS 模型将人群分为 S 类和 I 类,考虑患病者(I 类)能够治愈而变成易感者(S 类),但不考虑免疫期,所以患病者(I 类)治愈变成易感者之后还能够被感染而变成患病者。orm

SIS 模型适用于只有易感者和患病者两类人群,能够治愈,但会反复发做的疾病,例如脑炎、细菌性痢疾等治愈后也不具备免疫力的传染病。

SIS 模型假设:

  1. 考察地区的总人数 N 不变,即不考虑生死或人口流动;
  2. 人群分为易感者(S类)和患病者(I类)两类;
  3. 易感者(S类)与患病者(I类)有效接触即被感染,变为患病者;患病者(I类)可被治愈而变为易感者,无潜伏期、无免疫力;
  4. 每一个患病者天天有效接触的易感者的平均人数(日接触数)是 \(\lambda\),称为日接触率;
  5. 天天被治愈的患病者人数占患病者总数的比例为 \(\mu\) ,即日治愈率;
  6. 将第 t 天时 S类、I 类人群的占比记为 \(s(t)\)\(i(t)\),数量为 \(S(t)\)\(I(t)\);初始日期 \(t=0\) 时, S类、I 类人群占比的初值为 \(s_0\)\(i_0\)

须要说明的是,不考虑生死或人口流动,一般是因为考虑一个封闭环境并且假定疫情随时间的变化比生死、迁移随时间的变化显著得多, 所以后者能够忽略不计。

SIS 模型的微分方程:

\[\begin{align*} N\frac{di}{dt} = N \lambda s i - N \mu i \end{align*} \]

得:

\[\begin{align*} \frac{di}{dt} = \lambda i (1-i) - \mu i,\ i(0) = i_0 \end{align*} \]

由日治愈率 \(\mu\) 可知平均治愈天数为 \(1/\mu\),也称平均传染期。定义 \(\sigma = \lambda / \mu\),其含义是每一个病人在传染期内所传染的平均人数,称为传染期接触数。例如,平均传染期 \(1/\mu = 5\),日接触率 \(\lambda = 2\)(天天传染 2人),则传染期接触数 \(\sigma = 10\)

SIS 模型的解析解为:

\[\begin{cases} \begin{aligned} & i(t)=\frac{i_0}{1+\lambda t i_0}&,\lambda = \mu\\ & i(t)=[\frac{\lambda}{\lambda-\mu} + (\frac{1}{i_0}-\frac{\lambda}{\lambda-\mu})*e^{-(\lambda - \mu) t}]^{-1} &,\lambda \neq \mu\\ \end{aligned} \end{cases}\\ \]

注意:网上有些博文中解析解的公式误写成 \(exp((\lambda-\mu)t)\) ,漏掉了一个负号。



2. SIS 模型的 Python 编程

2.1 Scipy 工具包求解 SIS 模型

SIS 模型是常微分方程初值问题,可使用 Scipy 工具包的 scipy.integrate.odeint() 函数求数值解。

scipy.integrate.odeint(func, y0, t, args=())

**scipy.integrate.odeint() **是求解微分方程的具体方法,经过数值积分来求解常微分方程组。

odeint() 的主要参数:

  • func: callable(y, t, …)   导数函数 \(f(y,t)\) ,即 y 在 t 处的导数,以函数的形式表示
  • y0: array:  初始条件 \(y_0\),对于常微分方程组 \(y_0\) 则为数组向量
  • t: array:  求解函数值对应的时间点的序列。序列的第一个元素是与初始条件 \(y_0\) 对应的初始时间 \(t_0\);时间序列必须是单调递增或单调递减的,容许重复值。
  • args: 向导数函数 func 传递参数。当导数函数 \(f(y,t,p1,p2,..)\) 包括可变参数 p1,p2.. 时,经过 args =(p1,p2,..) 能够将参数p1,p2.. 传递给导数函数 func。

odeint() 的返回值:

  • y: array   数组,形状为 (len(t),len(y0),给出时间序列 t 中每一个时刻的 y 值。

odeint() 的编程步骤:

  1. 导入 scipy、numpy、matplotlib 包;
  2. 定义导数函数 \(f(i,t)=\lambda i (1-i)- \mu i\)
  3. 定义初值 \(y_0\)\(y\) 的定义区间 \([t_0,\ t]\)
  4. 调用 odeint() 求 \(y\) 在定义区间 \([t_0,\ t]\) 的数值解。

2.2 Python例程:SIS 模型的解析解与数值解

# 1. SIS 模型,常微分方程,解析解与数值解的比较
from scipy.integrate import odeint  # 导入 scipy.integrate 模块
import numpy as np  # 导入 numpy包
import matplotlib.pyplot as plt  # 导入 matplotlib包

def dy_dt(y, t, lamda, mu):  # SIS 模型,导数函数
    dy_dt = lamda*y*(1-y) - mu*y  # di/dt = lamda*i*(1-i)-mu*i
    return dy_dt

# 设置模型参数
number = 1e5  # 总人数
lamda = 1.2  # 日接触率, 患病者天天有效接触的易感者的平均人数
sigma = 2.5  # 传染期接触数
mu = lamda/sigma  # 日治愈率, 天天被治愈的患病者人数占患病者总数的比例
fsig = 1-1/sigma
y0 = i0 = 1e-5  # 患病者比例的初值
tEnd = 50  # 预测日期长度
t = np.arange(0.0,tEnd,1)  # (start,stop,step)
print("lamda={}\tmu={}\tsigma={}\t(1-1/sig)={}".format(lamda,mu,sigma,fsig))

# 解析解
if lamda == mu:
    yAnaly = 1.0/(lamda*t +1.0/i0)
else:
    yAnaly= 1.0/((lamda/(lamda-mu)) + ((1/i0)-(lamda/(lamda-mu))) * np.exp(-(lamda-mu)*t))
# odeint 数值解,求解微分方程初值问题
ySI = odeint(dy_dt, y0, t, args=(lamda,0))  # SI 模型
ySIS = odeint(dy_dt, y0, t, args=(lamda,mu))  # SIS 模型

# 绘图
plt.plot(t, yAnaly, '-ob', label='analytic')
plt.plot(t, ySIS, ':.r', label='ySIS')
plt.plot(t, ySI, '-g', label='ySI')

plt.title("Comparison between analytic and numerical solutions")
plt.axhline(y=fsig,ls="--",c='c')  # 添加水平直线
plt.legend(loc='best')  # youcans
plt.axis([0, 50, -0.1, 1.1])
plt.show()

2.3 SIS 模型解析解与数值解的比较

本图为例程 2.2 的运行结果,图中对解析解(蓝色)与使用 odeint() 获得的数值解(红色)进行比较。在该例中,没法观察到解析解与数值解的差别,代表数值解的偏差很小。

本图也比较了对相同日接触率和患病者初值下 SI模型与 SIS模型进行了比较。SI 模型更早进入爆发期,最终收敛到 100%;SIS 模型下进入爆发期较晚,患病者的比例最终收敛到某个常数(与模型参数有关)。

考察 SI 模型与 SIS模型的关系,显然 SI 模型是 SIS 模型在 \(\mu = 0\) 时的特殊状况。



3. SIS 模型参数的影响

对于 SIS 模型,须要考虑日接触率 \(\lambda\) 与日治愈率 \(\mu\) 的关系、患病者比例的初值 \(i_0\) 的影响,总人数 N 没有影响。

3.1 日接触率 \(\lambda\) 与日治愈率 \(\mu\) 关系的影响

直观地考虑,若是天天治愈的人数高于感染的人数,则疫情逐渐好转,不然疫情逐渐严重。所以日接触率 \(\lambda\) 与日治愈率 \(\mu\) 的关系很是关键,这就是传染期接触数 \(\sigma = \lambda / \mu\) 的意义。

(1) \(\sigma \leq 1\)

\(\sigma<1\) 时,传染期接触数小于 1,日接触率小于日治愈率,患病率单调降低,最终清零,与患病率初值无关。 \(\sigma\) 越小,疫情清零速度越快; \(\sigma\) 越接近于 1,疫情清零越慢,但最终仍将清零。

分析其实际意义,传染期接触数小于 1,代表在传染期内通过接触而使易感者变成患病者的数量,小于在传染期内治愈的患病者的数量,所以患病者数量、比例都会逐渐下降,因此最终能够清零,称为无病平衡点

\(\sigma=1\) 时,不论患病率初值如何,患病率也是单调降低,最终趋近于 0。虽然在数学上患病率只能趋近于 0 而不等于 0,但考虑到总人数 N 是有限的,而患病者和易感者人数须要取整,所以 \(\sigma=1\) 时最终也会清零。

(2) \(\sigma > 1\)

\(\sigma>1\) 时,传染期接触数大于 1,日接触率大于日治愈率,患病率的升降有两种状况:

  • 当患病率很低时,患病者人数少而易感者人数多,患病率上升;但随着患病率增大,患病者愈来愈多而易感者愈来愈少,患病率虽然仍然上升但上升速度趋缓,最终趋于定值。
  • 当患病率很高时,患病者人数多而易感者人数少,患病率降低;但随着患病率减少,患病者愈来愈少而易感者愈来愈多,患病率虽然仍然降低但降低速度趋缓,最终也趋于相同的定值。
  • 患病率最终都会收敛到稳态特征值 \(i_\infty=1-1/\sigma\)。当 \(i_0>i_\infty\) 即患病率初值大于稳态特征值时,疫情曲线单调上升收敛;当 \(i_0<i_\infty\) 即患病率初值小于稳态特征值时,疫情曲线单调降低收敛;当 \(i_0 = i_\infty\) 时,患病率始终大于稳态特征值,疫情曲线为水平直线。

这代表,当 \(\sigma>1\) 时疫情终将稳定但不会清零,而是长期保持必定的患病率,称为地方病平衡点

\(\sigma=1\) 时,不论患病率初值如何,患病率都单调降低并最终趋于 0。

3.2 传染期接触数 \(\sigma\) 与 $ di/dt$ 的关系

患病率的一阶导数 \(di/dt\) 的变化曲线,代表不论传染期接触数和初值如何,患病率的变化率都将收敛到 0,所以疫情终将稳定。当 \(\sigma<1\) 时, \(di/dt\) 始终是负值,单调上升趋近于 0; 当 \(\sigma>1\) 时, \(di/dt\) 始终是正值,先上升达到峰值后再逐渐减少趋近于 0。

本图为患病率 \(i(t)\) 与一阶导数 \(di/dt\) 在不一样传染期接触数下的关系曲线(相空间图)。当 \(\sigma\leq 1\) 时,曲线收敛到原点 \((0,0)\),即存在无病平衡点; 当 \(\sigma>1\) 时,曲线收敛到 \((1-1/\sigma,0)\),即存在地方病平衡点


3.3 Python例程:传染期接触数 \(\sigma\) 与 $ di/dt$ 的关系

# 4. SIS 模型,模型参数对 di/dt的影响
from scipy.integrate import odeint  # 导入 scipy.integrate 模块
import numpy as np  # 导入 numpy包
import matplotlib.pyplot as plt  # 导入 matplotlib包

def dy_dt(y, t, lamda, mu):  # SIS 模型,导数函数
    dy_dt = lamda*y*(1-y) - mu*y  # di/dt = lamda*i*(1-i)-mu*i
    return dy_dt

# 设置模型参数
number = 1e5  # 总人数
lamda = 1.2  # 日接触率, 患病者天天有效接触的易感者的平均人数
# sigma = np.array((0.1, 0.5, 0.8, 0.95, 1.0))  # 传染期接触数
sigma = np.array((0.5, 0.8, 1.0, 1.5, 2.0, 3.0))  # 传染期接触数
y0 = i0 = 0.05  # 患病者比例的初值
tEnd = 100  # 预测日期长度
t = np.arange(0.0,tEnd,0.1)  # (start,stop,step)

for p in sigma:
    ySIS = odeint(dy_dt, y0, t, args=(lamda,lamda/p))  # SIS 模型
    yDeriv = lamda*ySIS*(1-ySIS) - ySIS*lamda/p
    # plt.plot(t, yDeriv, '-', label=r"$\sigma$ = {}".format(p))
    plt.plot(ySIS, yDeriv, '-', label=r"$\sigma$ = {}".format(p)) #label='di/dt~i'
    print("lamda={}\tmu={}\tsigma={}\t(1-1/sig)={}".format(lamda,lamda/p,p,(1-1/p)))

# 绘图
plt.axhline(y=0,ls="--",c='c')  # 添加水平直线
plt.title("i(t)~di/dt in SIS model") # youcans-xupt
plt.legend(loc='best')
plt.show()


4. SIS 模型结果讨论

SIS 模型代表:

  1. \(\sigma > 1\),则 \(\lim\limits_{t \to \infty} i(t) = 1-1/\sigma\), 代表患病者始终存在,成为地方病。
  2. \(\sigma \leq 1\),则 \(\lim\limits_{t \to \infty} i(t) = 0, (\sigma\leq 1)\) ,代表患病者人数不断减小,最终能够清零。
  3. SIS 模型说明,对于传染病,须要对患病者进行隔离以减小有效接触,经过减小日接触率 \(\lambda\) 来减少接触数 \(\sigma\) ,打破传播链,最终控制疫情。

须要指出的是,本文讨论的 SIS模型是把考察地区视为一个疫情均匀分布的总体进行研究。实际上,在考察区域的疫情分布必然是不均衡的,可能在局部区域发生疫情爆发致使该区域患病人数激增,是否会影响 SIS 模型的演化过程和稳定性呢?相关研究代表,扩散速度的不一样可能致使种群空间分布的差别,在低风险区域将达到无病平衡点,在高风险区域仍将达到地方病平衡点。


【本节完】

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