哈工大2019年春算法设计与分析期末复习

2020年08月05日 阅读数:48
这篇文章主要向大家介绍哈工大2019年春算法设计与分析期末复习,主要内容包括基础应用、实用技巧、原理机制等方面,希望对大家有所帮助。

本文原载于个人博客,地址:https://blog.guoziyang.top/archives/22/html

第二章 算法分析的数学基础

2.1 复杂性函数的阶

阶为复杂性函数的主导项。web

如函数 T ( n ) = a n 2 + b n + c T(n)=an^2+bn+c 的主导项为 a n 2 an^2 ,当输入的n较大时,低阶项相对意义不大,系数a的意义也不大,故称:函数 T ( n ) T(n) 的阶为 n 2 n^2 算法

同阶函数:设 f ( n ) f(n) g ( n ) g(n) 是正值函数,若是 c 1 , c 2 > 0 , n 0 , n > n 0 , c 1 g ( n ) f ( n ) c 2 g ( n ) \exists c_1,c_2>0,n_0,\forall n>n_0,c_1g(n)\le f(n)\le c_2g(n) ,则称 f ( n ) f(n) g ( n ) g(n) 同阶,记做 f ( n ) = θ ( g ( n ) ) f(n)=\theta(g(n)) 保证最高次项次数相同便可。数组

若是 f ( n ) = O ( n k ) f(n)=O(n^k) ,则称 f ( n ) f(n) 是多项式界限的。网络

低阶函数:设 f ( n ) f(n) g ( n ) g(n) 是正值函数,若是 c > 0 , n 0 , n > n 0 , f ( n ) c g ( n ) \exists c>0,n_0,\forall n>n_0,f(n)\le cg(n) ,则称 f ( n ) f(n) g ( n ) g(n) 低阶或 g ( n ) g(n) f ( n ) f(n) 的上界,记做 f ( n ) = O ( g ( n ) ) f(n)=O(g(n)) f ( n ) f(n) g ( n ) g(n) 低阶, g ( n ) g(n) f ( n ) f(n) 的上界。数据结构

O ( g ( n ) ) O(g(n)) 能够视为全部比 g ( n ) g(n) 低阶的函数的集合 { f ( n ) c , n 0 , n > n 0 , f ( n ) c g ( n ) } \{f(n)|\exists c,n_0,\forall n>n_0,f(n)\le cg(n)\} app

高阶函数:设 f ( n ) f(n) g ( n ) g(n) 是正值函数,若是 c > 0 , n 0 , n > n 0 , f ( n ) c g ( n ) \exists c>0,n_0,\forall n>n_0,f(n)\ge cg(n) ,则称 f ( n ) f(n) g ( n ) g(n) 高阶或 g ( n ) g(n) f ( n ) f(n) 的下界,记做 f ( n ) = Ω ( g ( n ) ) f(n)=\Omega(g(n)) f ( n ) f(n) g ( n ) g(n) 高阶, g ( n ) g(n) f ( n ) f(n) 的下界。dom

O ( g ( n ) ) O(g(n)) 能够视为全部比 g ( n ) g(n) 高阶的函数的集合 { f ( n ) c , n 0 , n > n 0 , f ( n ) c g ( n ) } \{f(n)|\exists c,n_0,\forall n>n_0,f(n)\ge cg(n)\} ide

注意 θ \theta 表示渐进紧界 O O 表示渐进上界 Ω \Omega 表示渐进下界。因为上界和下界能够不是紧的,因而 n = O ( n ) = O ( n 2 ) = n=O(n)=O(n^2)=… O ( n ) O ( n 2 ) O(n)\in O(n^2) ,即比n低阶的函数必然比 n 2 n^2 低阶。svg

严格低阶函数:设 f ( n ) f(n) g ( n ) g(n) 是正值函数,若是 c > 0 , n 0 , n > n 0 , f ( n ) < c g ( n ) \exists c>0,n_0,\forall n>n_0,f(n)<cg(n) ,则称 f ( n ) f(n) g ( n ) g(n) 低阶或 g ( n ) g(n) f ( n ) f(n) 的严格上界,记做 f ( n ) = o ( g ( n ) ) f(n)=o(g(n))

O标记多是或者不是紧的,o标记用于确定不是紧的标记,因而 2 n 2 = O ( n 2 ) 2 n = O ( n 2 ) 2 n = o ( n 2 ) 2n^2=O(n^2),2n=O(n^2),2n=o(n^2) ,可是 2 n 2 o ( n 2 ) 2n^2\not=o(n^2)

严格高阶函数:与严格低阶函数相似。记为 f ( n ) = ω ( g ( n ) ) f(n)=\omega(g(n))

显然, f ( n ) ω ( g ( n ) ) f(n)\in\omega(g(n)) iff g ( n ) o ( f ( n ) ) g(n)\in o(f(n)) 。、

性质:全部的阶都具备传递性,非紧阶具备自反性, θ \theta 具备对称性, O O Ω \Omega 具备反对称性, o o ω \omega 具备反对称性。

2.2 递归方程

定义:使用具备小输入值的相同方程来描述一个方程,用自身来定义自身

Master方法:可用于求解 T ( n ) = a T ( n b ) + f ( n ) T(n)=aT(\frac{n}{b})+f(n) 型的方程,其中 a 1 , b > 1 a\ge 1,b>1 是常数, f ( n ) f(n) 为正函数。

  1. f ( n ) = O ( n l o g b a ϵ ) ϵ > 0 f(n)=O(n^{log_ba-\epsilon}),\epsilon>0 是常数,则 T ( n ) = θ ( n l o g b a ) T(n)=\theta(n^{log_ba})
  2. f ( n ) = θ ( n l o g b a ) f(n)=\theta(n^{log_ba}) ,则 T ( n ) = θ ( n l o g b a l g n ) T(n)=\theta(n^{log_ba}lgn)
  3. f ( n ) = Ω ( n l o g b a + ϵ ) ϵ > 0 f(n)=\Omega(n^{log_ba+\epsilon}),\epsilon>0 是常数,且对于全部充分大的n, a f ( n b ) c f ( n ) c < 1 af(\frac{n}{b})\le cf(n),c<1 是常数,则 T ( n ) = θ ( f ( n ) ) T(n)=\theta(f(n))

该方法的较为直观的方法:将 f ( n ) f(n) n l o g b a n^{log_ba} 比较:

  1. n l o g b a n^{log_ba} 大,则 T ( n ) = θ ( n l o g b a ) T(n)=\theta(n^{log_ba})
  2. f ( n ) f(n) 大,则 T ( n ) = θ ( f ( n ) ) T(n)=\theta(f(n))
  3. f ( n ) f(n) n l o g b a n^{log_ba} 同阶,则 T ( n ) = θ ( n l o g b a l g n ) = θ ( f ( n ) l g n ) T(n)=\theta(n^{log_ba}lgn)=\theta(f(n)lgn)

扩展master定理:消除 f ( n ) f(n) 为正函数的要求。

第二条修正为:若 f ( n ) = θ ( n l o g b a l o g k n ) k 0 f(n)=\theta(n^{log_ba}log^kn),k\ge0 ,则 T ( n ) = θ ( n l o g b a l o g k + 1 n ) T(n)=\theta(n^{log_ba}log^{k+1}n)

第三章 分治算法

3.1 分治算法的原理

三个阶段:Divide-Conquer-Combine

时间复杂度分析:

假设划分为 a a 个子问题,每一个子问题的大小为 n b \frac{n}{b} ,则划分时间为D(n),Conquer时间为 a T ( n b ) aT(\frac{n}{b}) ,Combine的时间为 C ( n ) C(n) ,最后获得递归方程
KaTeX parse error: No such environment: equation at position 8: \begin{̲e̲q̲u̲a̲t̲i̲o̲n̲}̲T(n)=\begin{cas…

举例:求最大值

时间复杂度分析:
T ( n ) = 2 T ( n / 2 ) + 2 = 2 ( 2 T ( n / 2 2 ) ) + 2 = 2 2 T ( n / 2 2 ) + 2 2 + 2 = . . . = 2 k 1 T ( 2 ) + 2 k 1 + 2 k 2 + . . . + 2 2 + 2 = 2 k 1 + 2 k 2 = 3 n 2 2 T(n)=2T(n/2)+2\\=2(2T(n/2^2))+2=2^2T(n/2^2)+2^2+2\\=...\\=2^{k-1}T(2)+2^{k-1}+2^{k-2}+...+2^2+2\\=2^{k-1}+2^k-2\\=\frac{3n}{2}-2
举例:整数乘法

计算n位二进制整数X和Y的乘积,一般的时间复杂度为O( n 2 n^2 )

3.3 基于分治的排序算法

3.3.1 QuickSort

Divide:使用partition算法生成一个q,并根据q将数据划分红两个部分。

Conquer:递归地使用QuickSort对两部分进行排序。

Combine:因为两部分已经有序,什么都不作

Partition算法:选择x做为划分点(一般是最后一个元素),并将x与其它元素逐一比较。如下选取4做为x,并使用i和j将小于4的归在左侧,大于4的归在右侧,并在最后将4添加至中间。

// 时间复杂度为O(n)
Partition(A, p, r)
{  
	x = A[r];
	i = p - 1;
	for j = p to r - 1
		do if A[j] <= x
			i = i + 1;
			exchange(A[i] A[j]);
	exchange(A[i + 1], A[r]);
	return i + 1;
}

QuickSort(A, p, r)
{
  if p < r 
  then q = Partition(A, p, r);
  	QuickSort(A, p, q - 1);
  	QuickSort(A, q + 1, r);
}  

使用循环不变量保证算法的正确性:循环开始、每一次循环体结束、以及算法结束后,都要保证循环不变量成立。

时间复杂度:partition算法复杂度为 θ ( n ) \theta(n) ,因此QuickSort的时间复杂度为
T ( n ) = 2 T ( n / 2 ) + θ ( n ) = θ ( n l o g n ) T(n)=2T(n/2)+\theta(n)=\theta(nlogn)
最坏的状况为分割点刚好在数组开头或者结尾,这时的时间复杂度为 T ( n ) = T ( 0 ) + T ( n 1 ) + θ ( n ) = θ ( n 2 ) T(n)=T(0)+T(n-1)+\theta(n)=\theta(n^2)

平均时间复杂度为 T ( n ) = O ( n l o g n ) T(n)=O(nlogn)

随机快速排序

用于防止输入基本有序,则在选取主元时加入随机因素。

Partition算法改成Randomized-Partition:

Randomized-Partition(A, p, r)
{
	i = Random(p, r);
	A[r]与A[i]交换;
	Return Partition(A, p, r);
}

指望的时间复杂度为 O ( n l o g n ) O(nlogn)

3.3.2 排序问题的下界

解决该问题的任意算法的最小时间复杂度,问题的下界是不惟一的,可是只有紧的下界是有意义的。

基于比较和交换的排序算法能够用一棵二叉决策树来描述:

则对于特定输入的排序过程,就是从根到叶子的一条路径。

n个元素有n!中不一样的排列,排序过程对应为高度为h,具备n!个叶子节点的二叉决策树,因为高度为h的二叉树最多有 2 h 2^h 个叶子节点,则有 2 h n ! 2^h\ge n! ,即
n ! = 2 π n ( n e ) n h l g ( n ! ) = Ω ( n l g n ) n!=\sqrt{2\pi n(\frac{n}{e})^n}\\h\ge lg(n!)=\Omega(nlgn)
则排序问题的下界为 Ω ( n l g n ) \Omega(nlgn)

3.4 中值与顺序统计量

3.4.1 Decrease and Conquer原理

原始问题划分为若干子问题,将原始问题转化为其中某个子问题的计算。例如,折半查找。

与Divide and Conquer不一样,该方法(减治方法)仅须要求解某一个子问题,便可获得原始问题的解。

3.4.2 Selection Problem

描述:寻找序列中的第k小的元素

原始算法:排序后寻找,时间复杂度为O(nlgn)

主要思想:S= { a 1 , a 2 , , a n } \{a_1, a_2, …, a_n\} ,用S中的一个值p将S分红三部分,分别为比p小的( S 1 S_1 ),和p相等的( S 2 S_2 ),比p大的( S 3 S_3 )。若是| S 1 S_1 |>k,那么第k小的元素就在 S 1 S_1 中,继续对 S 1 S_1 进行上述步骤。若是 S 1 + S 2 > k |S_1|+|S_2|>k ,那么p就是第k小的元素。不然,S中第k小的元素就是 S 3 S_3 中第 ( k S 1 S 2 ) (k-|S_1|-|S_2|) 小的元素,对 S 3 S_3 进行上述步骤。

如何寻找p:将n个元素划分为n/5个子集(每一个子集有5个元素),将每一个子集内部排序,p为全部子集的中间子集的中间元素。

该算法的时间复杂度为 O ( n ) O(n)

3.5 寻找最近的一对点(一维空间)

原始算法:将点集排序,扫描便可,时间复杂度为O(nlgn)

分治算法:

​ 边界条件:若是Q中仅包含两个点,就返回这个点对。

​ Divide:求出Q里点的中位数m,用m将Q划分为两个大小相等的子集合 Q 1 , Q 2 Q_1, Q_2

​ Conquer:递归地在 Q 1 , Q 2 Q_1,Q_2 中找出最接近的点对

​ Merge:将 Q 1 Q_1 中最大点和 Q 2 Q_2 中最小点组成一个点对,与刚刚找到的两个点对比较,找出结果。

该算法的时间复杂度为O(nlgn)

二维空间的搜索:

​ 边界条件:若Q中仅包含三个点,就返回最近的点对

​ Divide:寻找x坐标的中位数并分割

​ Conquer:递归地在两部分中寻找最小点对

​ Merge:设两部分的最小点对距离为d,则在中线左右距离为d的临界区查找小于d的点对。

在临界区的搜索算法:

​ 点对必然跨越中线

Q‘L = QL - {非临界区点};
Q‘R = QR - {非临界区点} ;
For p in Q’L Do
	For q in Q’R Do
		If Dis(p, q)<d
		Then d=Dis(p, q), 记录(p, q);
若是d发生过变化, 与最后的d对应的点对即为(pl , qr),
不然不存在(pl, qr)

该算法的时间复杂度为O(nlgn)

3.6 凸包算法

原始算法:

求Q中y-坐标值最小的点p0;
按照与p0极角(逆时针方向)大小排序Q中其他点,结果为<p1, p2,, pn>;
Push p0, p1, p2 into S;
FOR i=3 TO n DO
	While Next-to-top(S)Top(S)和pi造成非左移动 Do
		Pop(S);
	Push(pi, S);
Return S.

时间复杂度:O(nlgn)

分治算法:

​ 边界条件:若是|Q|<3,算法中止,若是|Q|=3,按照逆时针方向输出CH(Q)的顶点

​ Divide:使用x轴中线将Q划分为左右两个集合

​ Conquer:递归地为左右两个部分构造凸包

​ Merge:对左右两个凸包上的点进行原始算法合并凸包

该算法的时间复杂度为O(nlgn)

第四章 动态规划算法

4.1 概述

用于解决分治算法的问题:若是子问题不是相互独立的,分治算法会重复计算

优化问题:动态规划是解决优化问题的一种常见方法

步骤:

  1. 把原始子问题划分为一系列子问题
  2. 求解每一个子问题一次,并将结果保存在表中,之后用到直接存取
  3. 自底向上求解

条件:

  • 优化子结构:当一个问题的优化解包含了子问题的优化解时, 咱们说这个问题具备优化子结构。
  • 重叠子问题

算法设计步骤:

  1. 分析优化解的结构
  2. 递归地定义最优解的代价
  3. 递归地划分子问题,直至不可分
  4. 自底向上地求解各个子问题
    • 计算优化解的代价并保存之
    • 获取构造最优解的信息
  5. 根据构造最优解的信息构造优化解

4.2 矩阵链乘法

问题:输入多个矩阵,求出计算全部矩阵相乘所需的最小计算代价

矩阵乘法的代价:若A为 p × q p\times q 的矩阵,B是 q × r q\times r 的矩阵,则 A × B A\times B 的代价是 O ( p q r ) O(pqr)

动态规划算法:

  1. 分析优化解的结构

优化子结构:若是红色方案代价最小,那么计算 A 1 × × A k A_1\times…\times A_k 的方案必须是代价最小的方案,计算 A K + 1 × × A n A_{K+1}\times…\times A_n 的方案必须是代价最小的方案

子问题重叠性:

  1. 递归定义最优解代价

    设m[i, j]为计算 A i j A_{i\sim j} 的最小乘法数

    考虑到全部的k,优化解的代价方程为
    KaTeX parse error: No such environment: equation at position 8: \begin{̲e̲q̲u̲a̲t̲i̲o̲n̲}̲\begin{cases}m[…

最终的最优解存放在m[1, 5]中。

该算法的时间复杂度为 O ( n 3 ) O(n^3)

4.3 最长公共子序列(LCS)

问题:寻找两个序列的最长公共子序列

注意:子序列不一样于子串,子序列能够不相互链接

第i前缀:设X=( x 1 , x 2 , . . . , x n x_1, x_2, ..., x_n )是一个序列,则Xi=( x 1 , . . . , x i x_1, ..., x_i )是X的第i前缀。

优化子结构:设X=( x 1 , x 2 , , x m x_1, x_2, …, x_m ),Y= { y 1 , . . . , y n } \{y_1, ..., y_n\} 为两个序列, L C S X Y = { z 1 , . . . , z k } LCS_{XY}=\{z_1, ..., z_k\} 是X与Y的LCS,则有

  1. 若是 x m = y n x_m=y_n ,则 z k = x m = y n z_k=x_m=y_n L C S X Y = L C S X m 1 Y n 1 + < x m = y n > LCS_{XY}=LCS_{X_{m-1}Y_{n-1}}+<x_m=y_n>
  2. 若是 x m y n x_m\not=y_n ,且 z k x m z_k\not=x_m ,则 L C S X Y LCS_{XY} X m 1 X_{m-1} 和Y的LCS,即 L C S X Y = L C S X m 1 Y LCS_{XY}=LCS_{X_{m-1}Y}
  3. 若是 x m y n x_m\not=y_n ,且 z k y n z_k\not=y_n ,则 L C S X Y LCS_{XY} 是X和 Y n 1 Y_{n-1} 的LCS,即 L C S X Y = L C S X Y n 1 LCS_{XY}=LCS_{XY_{n-1}}

定义 C [ i , j ] = X i C[i,j]=X_i Y j Y_j 的LCS长度。

子问题重叠性:

LCS长度的递归方程:
KaTeX parse error: No such environment: equation at position 8: \begin{̲e̲q̲u̲a̲t̲i̲o̲n̲}̲C[i,j]=\begin{c…
递归求解过程:

字符串的第0位认为为空。

构造优化解:从B[m,n]开始按照指针搜索,若为斜向箭头,则是LCS的一部分,搜索到的结果为最终结果的Inverse。

该算法的时间复杂度为 O ( m n ) O(mn)

4.4 0-1背包问题

问题描述:给定n种物品和一个背包,物品i的重量是 w i w_i ,价值 v i v_i , 背包承重为C, 问如何选择装入背包的物品,使装入背包中的物品的总价值最大?

原始方法:n个物品共 2 n 2^n 种方案,每一个方案的计算代价为n,则总计算代价为 O ( n 2 n ) O(n2^n)

子问题的重叠性:

每一个分叉处都对应着某个物品装或不装,向右为不装,向左为装,大括号外为剩余的容量

定理:若是 S i = ( y i , y i + 1 , , y n ) S_i=(y_i,y_{i+1},…,y_n) 是0-1背包问题的子问题 P i = [ { i , i + 1 , , n } , C i = C 1 k i 1 w k y k ] P_i=[\{i,i+1,…,n\}, C_i=C-\sum_{1\le k\le i-1}w_ky_k] 的优化解,则 ( y i + 1 , , y n ) (y_{i+1},…,y_n) 是以下子问题 P i + 1 P_{i+1} 的优化解:
m a x i + 1 k n v k x k i + 1 k n w k x k C i w i y i x k { 0 , 1 } , i + 1 k n max\sum_{i+1\le k\le n}v_kx_k\\\sum_{i+1\le k\le n}w_kx_k\le C_i-w_iy_i\\x_k\in\{0,1\},i+1\le k\le n
以上问题的最优解代价为: m ( i , j ) = i k n v k x k m(i,j)=\sum_{i\le k\le n}v_kx_k

递归求解:

4.5 最优二叉搜索树

第五章 贪心算法

5.1 贪心算法基本原理

指望使用局部最优以达到总体最优的效果,可是不必定能达到全局最优。

贪心算法产生优化解的条件

  • 优化子结构:一个优化问题的优化解包含它的剩余子问题的优化解
  • Greedy选择性:一个优化问题的全局优化解能够经过局部优化选择获得

准确Greedy算法的设计步骤:

  1. 设计贪心选择方法
  2. 证实:对于1的贪心选择来讲,所求解的问题具备优化子结构
  3. 证实:对于1的贪心选择来讲,所求解的问题具备Greedy选择性
  4. 按照1设计算法

5.2 活动选择问题

问题描述:设S={1,2,…,n}是n个活动的集合,全部活动共享一个资源,该资源同时只能为一个活动使用。每一个活动i有起始时间 s i s_i , 终止时间 f i f_i s i f i s_i\le f_i 。活动i和j是相容的, 若 s j f i s i f j s_j\ge f_i或s_i\ge f_j 。输入一系列活动和它们的起始结束时间,求最大相容活动的集合。

贪心思想:为了选择最多的相容活动, 每次选 f i f_i 最小的活动, 使咱们可以选更多的活动。

剩余子问题: S i = { j S s j f i } S_i=\{j\in S|s_j\ge f_i\}

优化解结构分析

引理1:设 S = { 1 , 2 , , n } S=\{1,2,…,n\} 是n个活动集合, [ s i , f i ] [s_i,f_i] 是活动i的起始终止时间,且 f 1 f 2 f n f_1\le f_2\le…\le f_n 。则S的活动选择问题的某个优化解包括活动1。

引理2:设S={1, 2, …, n}是n个活动集合, [ s i , f i ] [s_i, f_i] 是活动i的起始终止时间,且 f 1 f 2 f n f_1\le f_2\le…\le f_n , 设A是S的调度问题的一个优化解且包括活动1,则 A = A { 1 } S = { i S s i f 1 } A'=A-\{1\}是S'=\{i\in S|s_i\ge f_1\} 的调度问题的优化解。(优化子结构)

引理3:设 S={1, 2, …., n}是 n 个活动集合, f 1 f 2 f n f_1\le f_2\le…\le f_n f l 0 = 0 f_{l_0}=0 l i l_i S i = { j S s j f l i 1 } S_i=\{j\in S|s_j\ge f_{l_i-1}\} 中具备最小结束时间 f l i f_{l_i} 的活动。设A是S的包含活动1的优化解, 则 A = i = 1 k { l i } A=\cup_{i=1}^k\{l_i\} 。(Greedy选择性),如:

若是结束时间已经排序,那么 T ( n ) = θ ( n ) T(n)=\theta(n) ,不然为 T ( n ) = θ ( n l o g n ) T(n)=\theta(nlogn)

5.3 哈夫曼编码

问题:编码树的代价:

设C是字母表(给定文件中的字母集合), c C \forall c\in C ,f©是c在文件中出现的频数, d T ( c ) d_T(c) 是叶子c在树T中的深度, 即c的编码长度,T的代价是编码一个文件的全部字符的代码长度。即
B ( T ) = c C f ( c ) d T ( c ) B(T)=\sum_{c\in C}f(c)d_T(c)
贪心思想:循环地选择具备最低频数F的两个结点,生成一棵子树,直至造成树(哈夫曼算法)。

剩余子问题的结构:
C = ( C { x , y } ) { z } F = ( F { f ( x ) , f ( y ) } ) { f ( z ) } , f ( z ) = f ( x ) + f ( y ) C'=(C-\{x,y\})\cup\{z\}\\F'=(F-\{f(x),f(y)\})\cup\{f(z)\},f(z)=f(x)+f(y)
引理(优化子结构):设T是字母表C的优化前缀树, c C \forall c\in C , f©是c在文件中出现的频数.设x、 y是T中任意两个相邻叶结点, z是它们的父结点,则z做为频数是f(z)=f(x)+f(y)的字符, T’=T-{x,y}是字母表C’=C-{x,y}∪{z}的优化前缀编码树。

引理(Greedy选择性):设C是字母表, c C \forall c\in C , c具备频数f©, x、 y是C中具备最小频数的两个字符, 则存在一个C的优化前缀树, x与y的编码具备相同最大长度, 且仅在最末一位不一样.

哈夫曼算法的时间复杂度为:O(nlgn)

5.4 最小生成树问题

问题描述:边加权无向图,边加权和最小的连通图

Kruskal算法

算法的思想:初始:A=空,构造森林 G A = ( V , A ) G_A=(V,A) ,选择链接 G A G_A 中两棵树的具备最小权值的边加入A。

引理(Greedy选择性):设(u,v)是G中权值最小的边, 则必有一棵最小生成树包含边(u,v)。

引理(优化子结构):给定加权无向连通图G=(V,E),权值函数为 W:E \rightarrow R, ( u , v ) E (u,v)\in E 是G中权值最小的边。设T是G的包含(u,v)的一棵最小生成树,则T/(u,v)是G/(u,v)的一棵最小生成树。

算法:

时间复杂度:设边的个数为n,则时间复杂度为 O ( n l o g n ) O(nlogn)

Prim算法

贪心策略:

  • 以任意顶点vr做为树根,初始C={vr}
  • 选择C和V-C之间权值最小的边(x,y), x C , y V C x\in C, y\in V-C
  • C = C y C=C\cup{y}

引理(Greedy选择性):设(u,v)是G中与节点u相关联的权值最小的边, 则必有一棵最小生成树包含边(u,v)。

引理(优化子结构):给定加权无向连通图G=(V,E),权值函数为 W:E \rightarrow R, ( u , v ) E (u,v)\in E 是G中权值最小的边。设T是G的包含(u,v)的一棵最小生成树,则T/(u,v)是G/(u,v)的一棵最小生成树。

算法:

第六章 树搜索

6.2 最优树搜索策略

登山法:使用贪心方法肯定搜索到方向,是优化的深度优先策略,使用启发式测度来排序节点扩展的顺序。

例如:8-Puzzle问题的启发式测度函数定义为 f ( n ) = W ( n ) f(n)=W(n) ,其中 W ( n ) W(n) 是节点n中处于错误位置的方块数。

登山法:

  1. 构造由根组成的单元素栈S;
  2. If Top(S)是目标节点 Then 中止;
  3. Pop(S);
  4. S的子节点按照其启发测度由大到小的顺序压入S;
  5. If S空 Then 失败 Else goto 2.

最佳优先搜索策略

结合深度优先和广度优先,根据评价函数,在目前产生的全部节点中选择具备最小评价函数值的节点进行扩展,具备全局优化观念。

分支界限法:以上算法难以求解优化问题

分支界限法能够有效地求解组合优化问题,思想:

  1. 迅速找到一个可行解
  2. 将该可行解做为优化解的一个界限
  3. 利用界限裁剪

与登山法和Best-First法相结合。

举例:

6.3 人员安排问题

问题描述:人的有序集合和工做的有序集合(人数与工做数相等),以及矩阵 [ C i j ] [C_{ij}] ,其中 C i j C_{ij} P i P_i 被分配工做 J i J_i 的代价。要使总代价最少。

命题: P 1 J k 1 P_1\rightarrow J_{k1} P 2 J k 2 P_2\rightarrow J_{k2} 、 …、 P n J k n P_n\rightarrow J_{kn} 是一个可能解, 当且仅当 J k 1 J k 2 J k n J_{k1}、J_{k2}、…、J_{kn} 是一个拓扑排序的序列

问题的树表示(由偏序关系直接生成拓扑排序树):

逐渐删除没有入边(没有前序元素)的节点便可:

解空间的加权树表示:

将代价矩阵的每一行减掉最小值使其出现0,再将每一列减掉最小值使其出现0,全部的0即为具备最小代价的分配方案,若不可行,则其代价和为可行解的代价下界。

使用改进后的解空间求解。

因为使用登山法首先遍历右支,获得可行解的下界为70,因而左支可直接减掉。

即:一旦发现一个可能解, 将其代价做为界限, 循环地进行分支界限搜索: 剪掉不能致使优化解的子解, 使用登山法继续扩展新增节点, 直至发现优化解。

6.4 旅行商问题

问题描述:无向连通图,非负加权边,寻找一条从任意节点开始,通过每一个节点一次,最后返回开始节点的路径,且路径的代价(加权和)最小。

二叉树创建算法中能够应用策略:

  • 发现优化解的上界 α \alpha
  • 若是一个子节点的代价下界超过 α \alpha ,则终止该节点的扩展

待补充

6.5 0-1背包问题

转换为树搜索问题:

  • 按照价值重量比降序排列n个物品
  • 空包为根
  • 用登山法或Best-First递归地划分解空间,获得二叉树
  • 树中第i层的每一个节点都表明了n个物品中全部符合如下特征的子集
    • 每一个子集对应于序列中前i个物品的一个特定选择
    • 这个特定选择是根据从根到该节点的一条路径肯定的:向左的分支表示包含下一个物品,向右的分支表示不包含下一个物品
  • 每一个节点中记录以下信息:当前装入背包物品的总重量w及总价值v,此时背包可以容纳的物品价值上界UB

分支界限搜索算法:计算节点代价的上界UB: U B = v + ( C ω ) × ( v i + 1 / ω i + 1 ) UB=v+(C-\omega)\times(v_{i+1}/\omega_{i+1}) 或UB=v+UB’,UB’是部分背包算法在子问题({i+1, i+2,…,n}, C-w)上的最优解代价。

注意:0/1背包问题的优化解是部分背包问题的可行解,部分背包问题的优化解是0/1背包问题优化解上界。

策略:

举例:

6.6 A*算法

基本思想:A*算法使用Best-First策略进行搜索,某些状况下,一旦获得了一个解,它必定是优化解,因而算法能够中止而无需搜索整个解空间。

关键:代价函数

对于任意节点n:g(n)=从树根到n的代价,h*(n)=从n到目标结点的优化路径代价,f*(n)=g(n)+h*(n)是通过结点n到达目标结点的代价。

h*(n)未知,因此须要估计h*(n),保证如下便可:

  • 使用任何方法去估计h*(n), 用h(n)表示h*(n)的估计
  • h ( n ) h(n)\le h*(n)总为真
  • f(n)=g(n)+h(n) \le g(n)+h*(n)=f*(n)定义为n的代价

举例:最短路径问题

A*算法规则:

  1. 使用Best-first搜索策略
  2. 算法中代价函数f(n)定义为g(n)+h(n),g(n)是从根到n的路径代价, h(n)是h*(n)的估计值,且对于全部n, h(n) \le h*(n)
  3. 当选择到的结点是目标结点时,算法中止,该目标结点即为优化解。

A*算法的正确性:使用Best-first策略搜索树,若是A*选择的结点是目标结点,则该结点表示的解是优化解

第七章 平摊分析

7.1 平摊分析的基本原理

关注一系列数据结构上操做的时间复杂度:考虑序列 O P 1 , O P 2 , , O P m OP_1,OP_2,…,OP_m ,想肯定这个操做序列可能花费的最长时间。然而OP之间相互关联,没法假设独立。

举例:普通栈操做:Push(S, x):将对象x压入栈S。Pop(S):弹出并返回S的顶端元素。可将每一个操做的实际代价视为1,因而n个操做的实际运行代价为 θ ( n ) \theta(n)

Multipop(S, k):弹出S的k的栈顶对象,该操做的实际代价为 m i n ( S , k ) min(|S|,k)

汇集方法(每一个操做的代价):肯定n个操做的上界 T ( n ) T(n) ,每一个操做平摊T(n)/n

会计方法(整个操做序列的代价):不一样类型操做赋予不一样的平摊代价,某些操做在数据结构的特殊对象上"预付"代价

Potential方法(整个操做序列的代价):不一样类型操做赋予不一样的平摊代价,“预付"的代价做为整个数据结构的"能量”

7.2 汇集方法

举例分析:n个栈操做序列由Push、Pop和Multipop组成

一个对象在每次被压入栈后至多被弹出一次,在非空栈上调用Pop的次数(包括在Multipop内的调用)至多为Push执行的次数, 即至多为n,最坏状况下操做序列的代价为 T ( n ) 2 n = O ( n ) T(n)\le 2n=O(n) ,因而平摊代价为 T ( n ) / n = O ( 1 ) T(n)/n=O(1)

举例:二进制计数器

问题描述:由0开始计数的k位二进制计数器

算法为:

分析:A[0]每次操做发生一次改变,总次数为n;A[1]每两次操做发生一次改变,总次数为n/2;A[2]每四次操做发生一次改变,总次数为n/4。通常的,对于i=0, 1, …., lgn,A[i]改变的次数为 n / 2 i n/2^i ,对于i>lgn,A[i]不发生改变。则n个操做的总代价为 O ( n ) O(n) ,每一个操做的平摊代价为O(1)。

7.3 会计方法

为每种操做分配不一样的平摊代价

举例:栈操做序列

Cost(PUSH)=2,一个1用来支付PUSH的开销,另外一个1存储在压入栈的元素上,预支POP的开销

Cost(POP)=0,Cost(MULTIPOP)=0

平摊代价知足: 1 i n a i i i n c i 0 \sum_{1\le i\le n}a_i-\sum_{i\le i\le n}c_i\ge 0 对于任意的n个操做序列都成立,由于栈中对象数$\ge$0。

n个栈操做序列的总平摊代价为 O ( n ) O(n)

举例:二进制计数器

每次一位被置为1时,Cost=2,置为0的开销为0

因而n个Increment操做序列的总平摊代价为O(n)

7.4 Potential方法

目的是分析n个操做系列的复杂性上界,在会计方法中,若是操做的平摊代价比实际代价大,咱们将余额与数据结构的数据对象相关联。Potential方法把Credit余额与整个数据结构关联,全部的这样的余额之和,构成数据结构的势能

若是操做的平摊代价大于操做的实际代价, 势能增长,若是操做的平摊代价小于操做的实际代价,要用数据结构的势能来支付实际代价, 势能减小。

一般定义 ϕ ( D 0 ) = 0 ϕ ( D i ) 0 \phi(D_0)=0,\phi(D_i)\ge 0

举例:栈的势能定义:

ϕ ( D m ) \phi(D_m) 定义为 D m D_m 中的对象的个数, c i c_i 为操做i的实际代价

栈操做的平摊代价(设栈 D i 1 D_{i-1} 中有s个对象)

PUSH: a i = c i + ϕ ( D i ) ϕ ( D i 1 ) = 1 + ( s + 1 ) s = 2 a_i=c_i+\phi(D_i)-\phi(D_{i-1})=1+(s+1)-s=2

POP: a i = c i + ϕ ( D i ) ϕ ( D i 1 ) = 1 + ( s 1 ) s = 0 a_i=c_i+\phi(D_i)-\phi(D_{i-1})=1+(s-1)-s=0

MULTIPOP(S, k):设k’=min(k, s),因而 a i = c i + ϕ ( D i ) ϕ ( D i 1 ) = k + ( s k ) s = k k = 0 a_i=c_i+\phi(D_i)-\phi(D_{i-1})=k'+(s-k')-s=k'-k'=0

举例:计数器的势能定义

ϕ ( D m ) \phi(D_m) 定义为第m个操做后计数器中1的个数 b m b_m

INCREMENT操做的平摊代价:

第i个INCREMENT操做把 t i t_i 个位置成0, 实际代价为 c i = t i + 1 c_i=t_i+1 ,计算操做i的平摊代价 a i = c i + ϕ ( D i ) ϕ ( D i 1 ) a_i=c_i+\phi(D_i)-\phi(D_{i-1})

b i = 0 b_i=0 ,操做i把全部k位置0,因此 b i 1 = k t i = k b_{i-1}=k,t_i=k ;若 b i > 0 b_i>0 ,则 b i = b i 1 t i + 1 b_i=b_{i-1}-t_i+1 ;因而 b i b i 1 t i + 1 b_i\le b_{i-1}-t_i+1 ϕ ( D i ) ϕ ( D i 1 ) = b i b i 1 b i 1 t i + 1 b i 1 = 1 t i \phi(D_i)-\phi(D_{i-1})=b_i-b_{i-1}\le b_{i-1}-t_i+1-b_{i-1}=1-t_i

平摊代价为 a i = c i + ϕ ( D i ) ϕ ( D i 1 ) ( t i + 1 ) + ( 1 t i ) = 2 a_i=c_i+\phi(D_i)-\phi(D_{i-1})\le (t_i+1)+(1-t_i)=2 ,n个操做的总平摊代价为O(n)

7.5 动态表性能平摊分析

动态表支持的操做:TABLE-INSERT:将某一元素插入表中;TABLE-DELETE:将一个元素从表中删除

数据结构:用一个(一组)数组来实现动态表,非空表T的装载因子 α ( T ) = T \alpha(T)=T 存储的对象数/表的大小。

扩张算法:

插入一个数组元素时,完成的操做包括:

  • 分配一个包含比原表更多的槽的新表
  • 再将原表中的各项复制到新表中去

经常使用的启发式技术是分配一个比原表大一倍的新表

汇集分析

第i次操做的代价 C i C_i :若是 i = 2 m i=2^m C i = i C_i=i ,不然 C i = 1 C_i=1

n次TABLE—INSERT操做的总代价为 i = 1 n c i n + j = 0 l g n 2 j < n + 2 n = 3 n \sum^n_{i=1}c_i\le n+\sum_{j=0}^{|lgn|}2^j<n+2n=3n

每一操做的平摊代价为3n/n=3

会计方法

每次执行TABLE-INSERT平摊代价为3,1支付基本插入操做的实际代价,1做为自身存款,1存入表中第一个没有存款的数据上

当发生表的扩张时,数据的复制代价由数据上的存款来支付

初始为空的表上n次TABLE-INSERT操做的平摊代价总和为3n

势能法分析

势能函数知足:刚扩充完, ϕ ( T ) = 0 \phi(T)=0 ,表满时, ϕ ( T ) = s i z e ( T ) \phi(T)=size(T)

因而定义势能函数 ϕ ( T ) = 2 n u m [ T ] s i z e [ T ] \phi(T)=2*num[T]-size[T]

第i次操做的平摊代价,不管是否发生扩张, α i = 3 \alpha_i=3

初始为空的表上n次插入操做的代价的上界为3n

动态表的收缩

策略:表的装载因子小于1/2时,收缩表为原表的一半,操做平摊代价过高

改进策略:删除数据项引发表不足1/4满时,将表缩小为原表的一半,扩张和收缩过程都使得表的装载因子变为1/2

动态表上n次(插入、删除)操做的代价分析

势能函数的定义:

  • 当装载因子为1/2时,势为0
  • 装载因子为1时,有num[T]=size[T],即 ϕ \phi (T)=num[T]。这样当因插入一项而引发一次扩张时,就可用势来支付其代价
  • 当装载因子为1/4时, size[T]=4 \cdot num[T]。即 ϕ \phi (T)=num[T]。于是当删除某项引发一次收缩时就可用势来支付其代价

因而,势能函数定义为:
Φ ( T ) = { 2 n u m [ T ] s i z e [ T ] α ( T ) 1 / 2 s i z e [ T ] / 2 n u m [ T ] α ( T ) < 1 / 2 \Phi(T)=\begin{cases}2\cdot num[T]-size[T]&\alpha(T)\ge1/2\\size[T]/2-num[T]&\alpha(T)<1/2\end{cases}
第i次操做的平摊代价 a i = c i + ϕ ( T i ) ϕ ( T i 1 ) a_i=c_i+\phi(T_i)-\phi(T_i-1)

  • 第i次操做是TABLE—INSERT :未扩张, α i 3 \alpha_i\le 3
  • 第i次操做是TABLE—INSERT :扩张, α i 3 \alpha_i\le 3
  • 第i次操做是TABLE—DELETE :未收缩, α i 3 \alpha_i\le 3
  • 第i次操做是TABLE—DELETE :收缩, α i 3 \alpha_i\le 3

动态表上n个操做的实际时间为O(n)

7.6 并查集性能平摊分析

目的:管理n个不相交的集合C={ S 1 , . . . , S n S_1,...,S_n },每一个集合 S i S_i 维护一个表明元素 x i x_i

支持的操做:

  • MAKE-SET(x): 建立仅含元素x的集合
  • UNION(x,y) : 合并表明元素分别x和y的集合
  • FIND-SET(x) : 返回x所在集合的表明元素

目标:使得以下操做序列的代价尽量低

  • n个MAKE-SET 操做 (开始阶段执行)
  • m个MAKE-SET, UNION, FIND-SET操做(后续)
  • m n m\ge n ,UNION操做至多执行 n-1次

并查集的直接实现为一个链表

并查集链表实现的性能分析:

  1. 开始阶段执行n个MAKE-SET 操做的总代价O(n)

  2. 后跟n-1个 UNION操做的总代价O( n 2 n_2 )

  3. 总共执行执行2n-1次操做的总代价为O( n 2 n_2 ),从平摊效果看,每一个操做的开销为O(n)

**改进:**每一个链表表头记录集合(或)链表中元素的个数,Union操做时将较短链表连接到较长链表

在改进后的并查集上执行由Make_set, Find和Union操做构成的长度为m+n的操做序列(其中Make_Set操做有m个),则该操做序列的时间复杂度为O(m+nlogn)

并查集的森林实现

  • MAKE-SET(x): 建立仅含元素x的一棵树,O(1)
  • UNION(x,y) : 将x做为y的孩子,O(1)
  • FIND(x) : 从结点x沿父指针访问直到树根,O( T x T_x )

改进策略:路径压缩

改进策略:按秩合并

  • MakeSet(x)操做执行时定义结点x的秩为0
  • Find操做不改变任意顶点的秩
  • Union(x,y) 分两种状况修改结点的秩
    • rank(x)=rank(y)。此时,令x指向y且y是并集的表明元素, rank(y)增长1, rank(x)不变(其余结点的秩也保持不变)
    • rank(x)<rank(y)。此时,令x指向y且y是并集的表明元素, rank(y)和rank(x)保持不变(其余结点的秩也保持不变)

在并查集上执行m个操做的时间复杂度为O(m α \alpha (n))

第八章 图算法

8.1 网络流算法

定义:一个源节点s、一个汇点t,由源节点流向汇点,流量守恒

流网络:无自环的有向图 G = ( V , E ) G=(V,E)

:设G(V,E)是一个流网络, c是容量函数, s源结点, t是汇点。G中的流是一个实值函数 f : V × V R f:V\times V\rightarrow R ,知足如下性质:

  1. 流量约束: u , v V , 0 f ( u , v ) c ( u , v ) \forall u,v\in V,0\le f(u,v)\le c(u,v)

  2. 流量守恒: u V { s , t } \forall u\in V-\{s,t\} ,有
    v V f ( v , u ) = v V f ( u , v ) \sum_{v\in V}f(v,u)=\sum_{v\in V}f(u,v)

前提:单源单汇单向

最大流问题:求出一个流网络中具备最大流值的流

循环递进:初始时网络上的流为0,找出一条从s到t的路径p和正数a,使得p上的每一条边(u,v)的流量增长a以后仍可以知足容量约束: f ( u , v ) + a c ( u , v ) f(u,v)+a\le c(u,v) ,重复执行,直到找不到知足约束条件的路径

Ford-Fulkerson方法

在一个关联的剩余网络中寻找一条增广路径

剩余网络:给定流网络G(V,E)和一个流f,则由f诱导的G的剩余网络为 G f ( V , E f ) G_f= (V, E_f) ,其中 E f E_f

  • 对于G中每条边 (u, v),若c(u,v)-f(u,v)>0,则 ( u , v ) E f (u, v)\in Ef ,且cf(u,v)=c(u,v)-f(u,v) (称 c f ( u , v ) c_f(u,v) 为剩余容量residual capacity)
  • 对于G中每条边 (u, v),在 G f G_f 中构造边(v, u),且 c f ( v , u ) f ( u , v ) c_f(v, u)= f(u,v)

增广路径:剩余网络中的一条由源结点s到汇点t的一条路径p

增广路径p的剩余容量 c f ( p ) = m i n { c f ( u , v ) : ( u , v ) p } c_f(p)=min\{c_f(u,v):(u,v)属于路径p\} ,表示了该路径可以增长的流的最大值

举例:

Ford-Fulkerson方法:在剩余网络中寻找增广路径

FF算法的核心是:经过增广路径不断增长路径上的流量,直到找到一个最大流为止

如何判断是否已经得到最大流

流网络的割

给定流网络 G=(V,E),其源为s,汇为t,G的一个割(cut)是V的2-集合划分(S, T), T=V-S, 且 s S , t T s\in S, t\in T ,割的容量定义为 c ( S , T ) = u S , v T c ( u , v ) c(S,T)=\sum_{u\in S,v\in T}c(u,v)

割的净流量为 f , f ( S , T ) = u S v T f ( u , v ) u S v T f ( v , u ) |f|,f(S,T)=\sum_{u\in S}\sum_{v\in T}f(u,v)-\sum_{u\in S}\sum_{v\in T}f(v,u)

显然:流网络G中任意流的值不能超过G的任意割的容量

最小割:整个网络中容量最小的割

最大割最小割定理

  1. f是G的最大流
  2. 剩余网络 G f G_f 不包含加强路径
  3. 对于G的某个划分(S, T), f = c ( S , T ) |f|=c(S,T)

即,一个最大流的值实际上等于一个最小割的容量

Max-Min关系:对偶关系,最大流和最小割,最大匹配和最小覆盖

利用Max-Min关系求解最大流问题

  1. 初始化一个可行流 f f ,0-流:全部边的流量均等于0的流
  2. 不断将 f f 增大,直到 f f 不能继续增大
  3. 找出一个割(S, T)使得 f = c ( S , T ) |f|=c(S,T)

Ford-Fulkerson算法

时间复杂度为O(|f*||E|)

如何加速增广路径的寻找

Edmonds-Karp算法

利用宽度优先在剩余网络 G f G_f 中寻找增广路径

  • 从源结点s到汇点t的一条最短路径
  • 每条边的权重为单位距离
  • δ f ( u , v ) \delta_f(u, v) =剩余网络 G f G_f 中从结点u到结点v的最短路径距离

Push-Relable方法

第九章 字符串匹配算法

9.2 精确匹配算法

Rabin-Karp算法

将字符串的比较转化成数的比较:两个数相对于第三个数模等价

即,若 a m o d    q = b m o d    q a\mod{q}=b\mod{q} ,则a和b有可能相等

d = Σ d=|\Sigma| ,因而 Σ \Sigma^* 中的任意字符串x能够看做一个d进制数

有限自动机与字符串匹配

  • 有限自动机就是构建出一个知足某个特定模式的判断系统

Knuth-Morris-Pratt 算法

即KMP算法

P a b a b a c a
q 0 1 2 3 4 5 6
π [ q ] \pi[q] 0 0 1 2 3 0 1

Boyer-Moore 算法

  • 逆向搜索:从P的后面开始搜索
  • 坏字符启发式规则
  • 好后缀启发式规则

坏字符规则

P [ j ] T [ i ] P[j]\not= T[i] 时,

  • 若是坏字符T[i]没有出如今模式P中,则直接将模式串移动到坏字符的下一个字符
  • 若是坏字符T[i]出如今模式P中,将P中位置j左面最近的x移到T(i)下面

好后缀:从后向前扫描遇到“ 坏字符” 前已经匹配的子串

给定P、T,T中字符t后面子串s匹配了P的一个后缀, 可是再往左一个字符就不匹配了。 寻找t’

  • t’和t相同
  • t’不是P的后缀
  • t’左边的那个字符同与t匹配的P的后缀的左面那个字符不相同

将P向右移, 直到t’位于t的下面

若不存在t’, 则将P向右移动最少的步数, 使P的前缀同t右子串s的后缀相匹配(与KMP相似)

若这种状况也不存在, 则将P右移m步(与KMP相似)

Boyer-Moore-Horspool 算法

仅考虑坏字符规则