2021全国大学生数学建模竞赛A题思路

2021年09月15日 阅读数:1
这篇文章主要向大家介绍2021全国大学生数学建模竞赛A题思路,主要内容包括基础应用、实用技巧、原理机制等方面,希望对大家有所帮助。

2021 年高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目
(请先阅读“全国大学生数学建模竞赛论文格式规范”)ide

A 题 “FAST”主动反射面的形状调节
中国天眼——500 米口径球面射电望远镜(Five-hundred-meter Aperture Spherical radio Telescope,简称 FAST),是我国具备自主知识产权的目前世界上单口径最大、灵敏度最高的射电望远镜。它的落成启用,对我国在科学前沿实现重大原创突破、加快创新驱动发展具备重要意义。
FAST 由主动反射面、信号接收系统(馈源舱)以及相关的控制、测量和支承系统组成(如图 1 所示),其中主动反射面系统是由主索网、反射面板、下拉索、促动器及支承结构等主要部件构成的一个可调节球面。主索网由柔性主索按照短程线三角网格方式构成,用于支承反射面板(含背架结构),每一个三角网格上安装一块反射面板,整个索网固定在周边支承结构上。每一个主索节点链接一根下拉索,下拉索下端与固定在地表的促动器链接,实现对主索网的形态控制。反射面板间有必定缝隙,可以确保反射面板在变位时不会被挤压、拉扯而变形。索网总体结构、反射面板及其链接示意图见图 2 和图 3。
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图 1 FAST 三维示意图
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图 2 总体索网结构
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(a) (b)
图 3 反射面板、主索网结构及其链接示意图spa

主动反射面可分为两个状态:基准态和工做态。基准态时反射面为半径约 300 米、口径为
500 米的球面(基准球面);工做态时反射面的形状被调节为一个 300 米口径的近似旋转抛物面(工做抛物面)。图 4 是 FAST 在观测时的剖面示意图,C 点是基准球面的球心,馈源舱接收平面的中心只能在与基准球面同心的一个球面(焦面)上移动,两同心球面的半径差为 F=0.466R
(其中 R 为基准球面半径,称 F/R 为焦径比)。馈源舱接收信号的有效区域为直径 1 米的中心圆盘。当 FAST 观测某个方向的天体目标 S 时,馈源舱接收平面的中心被移动到直线 SC 与焦面的交点 P 处,调节基准球面上的部分反射面板造成以直线 SC 为对称轴、以 P 为焦点的近似旋转抛物面,从而未来自目标天体的平行电磁波反射汇聚到馈源舱的有效区域。
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图 4 FAST 剖面示意图3d

将反射面调节为工做抛物面是主动反射面技术的关键,该过程经过下拉索与促动器配合来完成。下拉索长度固定。促动器沿基准球面径向安装,其底端固定在地面,顶端可沿基准球面径向伸缩来完成下拉索的调节,从而调节反射面板的位置,最终造成工做抛物面。
本赛题要解决的问题是:在反射面板调节约束下,肯定一个理想抛物面,而后经过调节促动器的径向伸缩量,将反射面调节为工做抛物面,使得该工做抛物面尽可能贴近理想抛物面,以blog

得到天体电磁波经反射面反射后的最佳接收效果。
请大家团队根据附录中的要求及相关参数创建模型解决如下问题:
一、当待观测天体????位于基准球面正上方,即???? = 0°, ???? = 90°时,结合考虑反射面板调节因素,肯定理想抛物面。
二、当待观测天体????位于???? = 36.795°, ???? = 78.169°时,肯定理想抛物面。创建反射面板调节模型,调节相关促动器的伸缩量,使反射面尽可能贴近该理想抛物面。将理想抛物面的顶点坐标, 以及调节后反射面 300 米口径内的主索节点编号、位置坐标、各促动器的伸缩量等结果按照规定的格式(见附件 4)保存在“result.xlsx”文件中。
三、基于第 2 问的反射面调节方案,计算调节后馈源舱的接收比,即馈源舱有效区域接收到
的反射信号与 300 米口径内反射面的反射信号之比,并与基准反射球面的接收比做比较。数学

附录:要求及相关参数
一、主动反射面共有主索节点 2226 个,节点间链接主索 6525 根,不考虑周边支承结构链接
的部分反射面板,共有反射面板 4300 块。基准球面的球心在坐标原点,附件 1 给出了全部主索
节点的坐标和编号,附件 2 给出了促动器下端点(地锚点)坐标、基准态时上端点(顶端)的
坐标,以及促动器对应的主索节点编号,附件 3 给出了 4300 块反射面板对应的主索节点编号。 二、基准态下,全部主索节点均位于基准球面上。
三、每一块反射面板均为基准球面的一部分。反射面板上开有许多直径小于 5 毫米的小圆孔, 用于透漏雨水。因为小孔的直径小于所观察的天体电磁波的波长,不影响对天体电磁波的反射, 因此能够认为面板是无孔的。
四、电磁波信号及反射信号均视为直线传播。
五、主索节点调节后,相邻节点之间的距离可能会发生微小变化,变化幅度不超过 0.07%。
六、将主索节点坐标做为对应的反射面板顶点坐标。
七、经过促动器顶端的伸缩,可控制主索节点的移动变位,但链接主索节点与促动器顶端的下拉索的长度保持不变。促动器伸缩沿基准球面径向趋向球心方向为正向。假设基准状态下, 促动器顶端径向伸缩量为 0,其径向伸缩范围为-0.6~+0.6 米。
八、天体 S 的方位可用方位角????和仰角????来表示(见图 5)。
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图 5 天体 S 方位角与仰角示意图it

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