高等代数笔记2:向量空间与矩阵论

2020年06月05日 阅读数:287
这篇文章主要向大家介绍高等代数笔记2:向量空间与矩阵论,主要内容包括基础应用、实用技巧、原理机制等方面,希望对大家有所帮助。

向量空间

向量空间的定义

向量空间就是解析几何中的平面向量和空间向量的进一步抽象。回顾解析几何的知识,平面中两个线性无关的向量能够线性表示整个平面上全部的向量,也就是说,对于任意的平面向量 v v 及两个线性无关的向量 e 1 , e 2 e_1,e_2 ,都存在实数 x 1 , x 2 x_1,x_2
v = x 1 e 1 + x 2 e 2 v=x_1e_1+x_2e_2 ( x 1 , x 2 ) (x_1,x_2) 称为 v v e 1 , e 2 e_1,e_2 下的坐标。有了两个线性无关的平面向量,全部平面都和一个实数对一一对应,一样地,全部空间向量都和一个三维实数对具备一一对应的关系。同时,向量的加法(按平行四边形法则)就是实数对各变元相加,向量的数乘就是实数对各变元乘以该实数。咱们将这一规则从2、三维推广到n维,就获得n维向量空间。
定义2.1 K K 是一个数域, ( x 1 , x 2 , , x n ) (x_1,x_2,\cdots,x_n) 的各变元都是 K K 中的数,全体这样的 n n 元数对构成的集合称为 n n 维向量空间html

n n 维向量空间实际上就是 n n 维空间的一个"点",只不过在二维和三维,咱们有明确的几何直观,二维的点就是平面上的一个点或平面上的一个向量,三维的点就是空间上的一个点或空间的一个向量。在超过四维的状况下,咱们就没法想象几何上的 n n 维向量到底“长成什么样”,不过形式是 n n 维实数对。咱们规定: n n 维向量空间上的加法为各变元分别相加,数乘为各变元分别乘以该常数。咱们就在 n n 维向量空间上,创建了两个运算。而且,按照数域的运算性质,容易验证 n n 维向量空间有以下的运算性质:
(1)(加法交换律) x 1 + x 2 = x 2 + x 1 x_1+x_2=x_2+x_1
(2)(加法结合律) x 1 + x 2 + x 3 = x 1 + ( x 2 + x 3 ) x_1+x_2+x_3=x_1+(x_2+x_3)
(3)(零元) 0 + x = x 0+x=x
(4)(存在相反元) x + ( x ) = 0 x+(-x)=0
(5)(数乘交换律) ( a b ) x = a ( b x ) (ab)x=a(bx)
(6)(数乘结合律) ( a + b ) x = a x + b x (a+b)x=ax+bx
(7)(数乘结合律) a ( x 1 + x 2 ) = a x 1 + a x 2 a(x_1+x_2)=ax_1+ax_2
(8)(单位元) 1. x = x 1.x=x web

这样,向量就好像“数”同样与数域中的数一块儿参与运算,这就启发咱们:能运算的,不只仅只有数,便是是抽象的集合中的元素,也是能够经过定义某种运算,具备某种运算规律,就能够如同数同样进行运算,这样,咱们对代数的认识,就从具体,走向抽象,能够认为:抽象,就是现阶段代数的核心!app

固然,咱们不是为了抽象而进行抽象,向量空间有其明确的几何背景,那就是解析几何中的二维平面向量空间和三维立体几何向量空间,因此,接下来的任务,咱们要将平面解析几何和立体解析几何的若干观念,推广到 n n 维向量空间当中。svg

向量空间的结构

接下来,咱们将解析几何中的若干观念,推广到 n n 维向量空间中去。咱们知道,平面解析几何中,两个向量平行,就等价于存在实数 k k x 1 = k x 2 x_1=kx_2 ,此时
x 1 k x 2 = 0 x_1-kx_2=0 两个向量不平行,那么就不存在实数 k k ,使得 x 1 = k x 2 x_1=kx_2 ,若是假设
k 1 x 1 + k 2 x 2 = 0 k_1x_1+k_2x_2=0 那么,就必定有 k 1 = k 2 = 0 k_1=k_2=0 ,不然,假设 k 1 0 k_1\neq 0 ,那么
x 1 = k 2 k 1 x 2 x_1=-\frac{k_2}{k_1}x_2 若是两个向量不平行,那么,平面上任意向量,均可以表为这两个向量的线性组合。
x = k 1 x 1 + k 2 x 2 x=k_1x_1+k_2x_2 对于 n n 维向量,一样有线性相关,线性无关,线性组合的概念。spa

定义2.2 x 1 , , x m x_1,\cdots,x_m 是数域 K K 上的 n n 维向量空间的一个向量组, k 1 , , k m K k_1,\cdots,k_m\in K ,称向量 k 1 x 1 + k 2 x 2 + + k m x m k_1x_1+k_2x_2+\cdots+k_mx_m x 1 , , x m x_1,\cdots,x_m 的一个线性组合。orm

定义2.3 x 1 , , x m x_1,\cdots,x_m K K 上的 n n 维向量空间的一个向量组,若是存在 K K 上的一组不全为 0 0 的数 k 1 , , k m K k_1,\cdots,k_m\in K ,使得线性组合
k 1 x 1 + k 2 x 2 + + k m x m = 0 k_1x_1+k_2x_2+\cdots+k_mx_m=0 则称 x 1 , , x m x_1,\cdots,x_m 线性相关,不然称 x 1 , , x m x_1,\cdots,x_m 线性无关
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下面咱们给出线性相关和线性无关的一个等价定义
定理2.1 x 1 , , x m x_1,\cdots,x_m K K 上的 n n 维向量空间的一个向量组, x 1 , , x m x_1,\cdots,x_m 线性相关的充要条件是存在某个向量能被其余向量线性表示htm

证:
x 1 , , x m x_1,\cdots,x_m 线性相关,则存在不全为 0 0 K K 中的数 k 1 , , k m k_1,\cdots,k_m ,知足
k 1 x 1 + k 2 x 2 + + k m x m = 0 k_1x_1+k_2x_2+\cdots+k_mx_m=0 不失通常性,不妨设 k 1 0 k_1\neq 0 ,则 x 1 = 1 k 1 [ k 2 x 2 + + k m x m ] x_1=-\frac{1}{k_1}[k_2x_2+\cdots+k_mx_m] ip

这就说明了,向量组线性相关,就等价于某个向量是"多余"的,体如今该向量能表示成其余向量的线性组合,去掉该向量和保留该向量,先后的向量组是等价的。那么何谓向量组的等价呢?ci

定义2.4 x 1 , , x s x_1,\cdots,x_s y 1 , , y t y_1,\cdots,y_t K K 上的 n n 维向量空间的两个向量组,若是每一个 x i x_i 都能被 y 1 , , y t y_1,\cdots,y_t 线性表出,则称 x 1 , , x s x_1,\cdots,x_s 能被 y 1 , , y t y_1,\cdots,y_t 线性表示;若是两个向量组能够相互线性表示,则称两个向量组等价。

容易验证,向量组之间的等价是一个等价关系,即知足自反性,对称性和传递性。容易证实,若是向量组线性相关,去掉能被其余向量线性表示的向量后,两个向量组是等价的,这就足以说明线性相关的缘由是由于存在某些多余的向量,剔除掉多余的向量,先后向量组等价。

那么,咱们天然联想到,对于线性相关的向量组,咱们逐个找到能被其余向量线性表示的向量,予以剔除,直到向量组线性无关,就获得彻底没有多余向量的向量组,而且,新的向量组能够线性表出原来线性相关的向量组,就像新的线性无关的向量组就像原来的向量组的一个“不平行的平面向量”通常,经过线性组合就能获得原来的全部向量,这是“基”这个概念的雏形,只不过,在向量组这里,咱们称为“极大线性无关组”。

以上过程获得的“极大线性无关组”可能会受到剔除顺序的影响的,不一样的剔除顺序获得的极大线性无关组都不一样,可是,同一个线性相关向量组经过以上过程获得的极大线性无关组,在向量的数量上是相等的,这就是空间的维度。下面,咱们对这里观点进行严格的论证。

为了论述这个结论,咱们先讨论齐次方程有非零解的一种特殊状况。

引理2.1 对数域 K K 上的齐次线性方程组
{ a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1 n x n = 0 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2 n x n = 0 a m 1 x 1 + a m 2 x 2 + + a m n x n = 0 \begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=0\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=0\\ \cdots\\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\cdots+a_{mn}x_n=0 \end{cases}
若是 n > m n>m ,则齐次方程必有非零解

证:
用数学概括法对 m m 进行概括:
m = 1 m=1 时,若是 n 2 n\ge 2 ,则方程组等价于1个方程
a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1 n x n = 0 a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=0
若是 a 11 = 0 a_{11}=0 ,那么 ( 1 , 0 , , 0 ) (1,0,\cdots,0) 便是一组非零解。不然, ( a 12 , a 11 , 0 , , 0 ) (a_{12},-a_{11},0,\cdots,0) 便是一组非零解。
假设 m = k m=k 时结论都成立,对 k + 1 k+1 个方程,若是 n > k + 1 n>k+1 ,不妨设 a 11 , , a m 1 a_{11},\cdots,a_{m1} 不全为0,不然 ( 1 , 0 , , 0 ) (1,0,\cdots,0) 便是一组非零解。能够经过初等变换,方程等价于
{ x 1 + b 12 x 2 + + b 1 n x n = 0 0 x 1 + b 22 x 2 + + b 2 n x n = 0 0 x 1 + b ( k + 1 ) 2 x 2 + + b ( k + 1 ) n x n = 0 \begin{cases} x_1+b_{12}x_2+\cdots+b_{1n}x_n=0\\ 0x_1+b_{22}x_2+\cdots+b_{2n}x_n=0\\ \cdots\\ 0x_1+b_{(k+1)2}x_2+\cdots+b_{(k+1)n}x_n=0 \end{cases} 由概括假设,方程组
{ b 22 x 2 + + b 2 n x n = 0 b ( k + 1 ) 2 x 2 + + b ( k + 1 ) n x n = 0 \begin{cases} b_{22}x_2+\cdots+b_{2n}x_n=0\\ \cdots\\ b_{(k+1)2}x_2+\cdots+b_{(k+1)n}x_n=0 \end{cases} 存在一组非零解 ( x 2 0 , , x n 0 ) (x_2^0,\cdots,x_n^0) ,再令 x 1 0 = b 12 x 2 0 + b 1 n x n 0 x_1^0=-b_{12}x_2^0+\cdots-b_{1n}x_n^0 ,这样, ( x 1 0 , x 2 0 , , x n 0 ) (x_1^0,x_2^0,\cdots,x_n^0) 就是方程组的一组非零解。

定理2.2 x 1 , , x s x_1,\cdots,x_s y 1 , , y t y_1,\cdots,y_t 是数域 K K n n 维向量空间的两个向量组, x 1 , , x s x_1,\cdots,x_s 能被 y 1 , , y t y_1,\cdots,y_t 线性表出, y 1 , , y t y_1,\cdots,y_t 线性无关, s > t s > t ,则 x 1 , , x s x_1,\cdots,x_s 线性相关

证:
x 1 , , x s x_1,\cdots,x_s 能被 y 1 , , y t y_1,\cdots,y_t 线性表出,则存在 m n mn K K 中的数 k i j k_{ij} ,使得
{ x 1 = k 11 y 1 + + k 1 t y t x 2 = k 21 y 1 + + k 2 t y t x s = k s 1 y 1 + + k s t y t \begin{cases} x_1=k_{11}y_1+\cdots+k_{1t}y_t\\ x_2=k_{21}y_1+\cdots+k_{2t}y_t\\ \cdots\\ x_s=k_{s1}y_1+\cdots+k_{st}y_t \end{cases} z 1 , , z s S z_1,\cdots,z_s\in S ,而且
z 1 x 1 + z 2 x 2 + + z s x s = 0 z_1x_1+z_2x_2+\cdots+z_sx_s=0 y 1 , , y t y_1,\cdots,y_t 线性无关,就获得线性方程组
{ k 11 z 1 + k 21 z 2 + + k s 1 z s = 0 k 12 z 1 + k 22 z 2 + + k s 2 z s = 0 k 1 t z 1 + k 2 t z 2 + + k s t z s = 0 \begin{cases} k_{11}z_1+k_{21}z_2+\cdots+k_{s1}z_s=0\\ k_{12}z_1+k_{22}z_2+\cdots+k_{s2}z_s=0\\ \cdots\\ k_{1t}z_1+k_{2t}z_2+\cdots+k_{st}z_s=0 \end{cases} 因为 s > t s>t ,方程的未知量个数大于方程的个数,那么,方程必有非零解,这就说明了 x 1 , , x s x_1,\cdots,x_s 线性相关

推论2.1 x 1 , , x s x_1,\cdots,x_s y 1 , , y t y_1,\cdots,y_t 是数域 K K n n 维向量空间的两个线性无关的向量组,而且等价,那么 s = t s=t

定义2.5 x 1 , , x m x_1,\cdots,x_m 是数域 K K n n 维向量空间的一个的向量组, y 1 , , y s y_1,\cdots,y_s x 1 , , x m x_1,\cdots,x_m 的一个子向量组,若是知足:
(1) y 1 , , y s y_1,\cdots,y_s 线性无关
(2) x 1 , , x m x_1,\cdots,x_m 可由 y 1 , , y s y_1,\cdots,y_s 线性表出
则称 y 1 , , y s y_1,\cdots,y_s x 1 , , x m x_1,\cdots,x_m 的极大线性无关组

任何向量组的极大线性无关组必定存在,但不惟一,但按照推论\ref{cor1},极大线性无关组的向量个数必定是肯定的,称极大线性无关组的向量个数是向量组的秩。

向量组的秩,就如图向量组的维数,规定向量组最少能够由其中多少个向量线性表出。

最后,咱们来给出向量组和线性方程组之间的联系。对线性方程组
{ a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1 n x n = 0 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2 n x n = 0 a m 1 x 1 + a m 2 x 2 + + a m n x n = 0 \begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=0\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=0\\ \cdots\\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\cdots+a_{mn}x_n=0 \end{cases}
实际上,咱们能够表成
x 1 a 1 + x 2 a 2 + + a n x n = 0 x_1a_1+x_2a_2+\cdots+a_nx_n=0 其中 a i = ( a 1 i , , a m i ) a_i=(a_{1i},\cdots,a_{mi}) ,这样,线性相关就至关以上齐次线性方程组由非零解,线性无关就至关于以上其次线性方程只有零解。

向量组的秩和矩阵的秩

接下来,咱们搭起向量组和矩阵之间的桥梁。向量组咱们能够写成矩阵的形式,将向量组元素按列排列就是列向量,按行排列就是行向量,那么,任何矩阵均可以视为一个行向量组和列向量组。下面,咱们来给出行向量组和列向量组的联系。行向量组的秩称为矩阵的行秩,列向量组的秩为矩阵的列秩

定理2.3 初等行变换不改变矩阵的行秩

证:
设矩阵 A A 的行向量组为 x 1 , x 2 , , x n x_1,x_2,\cdots,x_n
交换第 i i j j 行不改变行向量组的构成,交换第 i i 行和第 j j 行后行向量组等价。
将第 i i 行乘以一个非零常数 k k ,则行向量组变为
x 1 = x 1 , , x i 1 = x i 1 , x i = k x i , x i + 1 = x i + 1 , , x n = x n x_1^\prime=x_1,\cdots,x_{i-1}^\prime=x_{i-1}, x_i^\prime=kx_i,x_{i+1}^\prime=x_{i+1},\cdots,x_n^\prime=x_n { x 1 = x 1 x i 1 = x i 1 x i = 1 k x i x i + 1 = x i + 1 x n = x n \begin{cases} x_1 = x_1^\prime \\ \cdots\\ x_{i-1} =x_{i-1}^\prime \\ x_i = \frac{1}{k}x_i^\prime\\ x_{i+1} = x_{i+1}^\prime\\ \cdots\\ x_n= x_n^\prime \end{cases}
所以,先后的行向量组等价。
相似地,能够验证将 i i 行加上第 j j 行的 k k 倍后,先后的行向量组等价。
所以,初等行变换后矩阵的行向量组都等价,初等行变换不改变矩阵的行秩

固然,初等行变换也不改变矩阵的列秩。
定理2.4 初等行变换不改变矩阵的列秩

证:
y 1 , , y m y_1,\cdots,y_m 是矩阵的列向量组,其极大线性无关组为 z 1 , , z s z_1,\cdots,z_s
再设 z i = ( z i 1 , , z i n ) z_i=(z_{i1},\cdots,z_{in}) ,那么方程组
{ z 11 x 1 + z 21 x 2 + + z s 1 x s = 0 z 12 x 1 + z 22 x 2 + + z s 2 x s = 0 z 1 n x 1 + z 2 n x 2 + + z s n x s = 0 \begin{cases} z_{11}x_1+z_{21}x_2+\cdots+z_{s1}x_s = 0\\ z_{12}x_1+z_{22}x_2+\cdots+z_{s2}x_s=0\\ \cdots\\ z_{1n}x_1+z_{2n}x_2+\cdots+z_{sn}x_s=0 \end{cases} 只有零解,交换两行至关于交换 z i z_i 的两个变元,至关于交换方程组的两个方程,某行乘以 k k 倍至关于 z i z_i 对应变元乘以 k k 倍,至关于线性方程组对应行乘以 k k 倍,将第 j j 行的 k k 倍加到第 i i 行至关于将第 j j 个份量的 k k 加到第 i i 个份量,至关于将第 j j 个方程的 k k 倍加到第 i i 个方程。
于是初等行变换后不改变极大线性无关组的线性无关性。只要证实变换后获得的 z 1 , , z s z_1^\prime,\cdots,z_s^\prime y 1 , , y n y_1^\prime,\cdots,y_n^\prime 的极大线性无关组便可。实际上,因为 z 1 , , z s z_1,\cdots,z_s y 1 , , y n y_1,\cdots,y_n 的极大线性无关组,对任意的 i = 1 , , n i=1,\cdots,n ,存在 K K 中的常数 x 1 , , x s x_1,\cdots,x_s ,使得:
y i = x 1 z 1 + + x s z s y_i=x_1z_1+\cdots+x_sz_s y i = ( y i 1 , , y i n ) y_i=(y_{i1},\cdots,y_{in}) ,写成线性方程组形式为
{ y i 1 = z 11 x 1 + z 21 x 2 + + z s 1 x s y i 2 = z 12 x 1 + z 22 x 2 + + z s 2 x s y i n = z 1 n x 1 + z 2 n x 2 + + z s n x s \begin{cases} y_{i1}=z_{11}x_1+z_{21}x_2+\cdots+z_{s1}x_s\\ y_{i2}=z_{12}x_1+z_{22}x_2+\cdots+z_{s2}x_s\\ \cdots\\ y_{in}=z_{1n}x_1+z_{2n}x_2+\cdots+z_{sn}x_s \end{cases} 初等行变换至关于交换两个方程,某个方程乘以 k k 倍,将某个方程的 k k 倍加到另外一个方程,初等行变换先后方程组都成立,所以, z 1 , , z s z_1^\prime,\cdots,z_s^\prime y 1 , , y n y_1^\prime,\cdots,y_n^\prime 的极大线性无关组

推论2.2 初等列变换不改变矩阵的行秩和列秩

咱们知道,任何矩阵均可以经过初等行变换化为行阶梯状矩阵。即 i r i\le r ,第 i i 行第 s i s_i 列为 1 1 ,前面的列为 0 0 ,后 n r n-r 行全为0,而且 1 s 1 < < s r n 1\le s_1<\cdots<s_r\le n 。再经过初等列变换,能够将矩阵化成以下的形式:
[ 1 0 1 0 0 ] \left[ \begin{matrix} 1& & & & & \\ &\cdots& & &0& \\ & & 1 & & & \\ & 0 & & &0& \end{matrix} \right] 以上矩阵称为矩阵的标准型,经过标准型,咱们就不可贵到

定理2.5 矩阵的行秩和列秩相等

咱们就称矩阵的行秩或列秩为矩阵的秩,矩阵 A A 的秩记为 r ( A ) r(A) 。以上过程也提供了求解矩阵的秩的方法,就是利用矩阵的初等变换,化为阶梯阵或者标准型。

线性方程组解的结构

对于线性方程组,咱们最感兴趣的问题方程组有无解?若是有,有多少解,也就是解的个数。关于这个问题,咱们不妨将全部解视为一个空间,考察解空间的结构。
咱们先来考察齐次线性方程组的解的结构。对齐次线性方程组
{ a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1 n x n = 0 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2 n x n = 0 a m 1 x 1 + a m 2 x 2 + + a m n x n = 0 \begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=0\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=0\\ \cdots\\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\cdots+a_{mn}x_n=0 \end{cases} 咱们关心的问题是齐次线性方程组是否有非零解。咱们将全部的解记成 n n 维向量的形式,全体解的集合记为 V V ,容易验证:
(1) x 1 , x 2 V x_1,x_2\in V ,则 x 1 + x 2 V x_1+x_2\in V
(2) x V , k K x\in V,k\in K ,则 k x V kx\in V
也就是说, V V 对向量的加法和数乘是封闭的。咱们把 V V 称为齐次线性方程组的解空间。正如平面上全部向量可由两个不共线的向量线性表出,空间上全部向量可由三个不共面的向量线性表出。解空间也有这么一组基,全部解均可以表为这组基的线性组合。
相似地,咱们就猜测 V V K K 上齐次线性方程组
{ a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1 n x n = 0 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2 n x n = 0 a m 1 x 1 + a m 2 x 2 + + a m n x n = 0 \begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=0\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=0\\ \cdots\\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\cdots+a_{mn}x_n=0 \end{cases} 的解空间,存在有限个线性无关的解向量 τ 1 , , τ s \tau_1,\cdots,\tau_s ,方程组任意解可表为该向量组的惟一的线性组合。

定理2.6 K K 上齐次线性方程组
{ a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1 n x n = 0 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2 n x n = 0 a m 1 x 1 + a m 2 x 2 + + a m n x n = 0 \begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=0\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=0\\ \cdots\\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\cdots+a_{mn}x_n=0 \end{cases} V V 是其解空间, A A 是其系数矩阵, r = r ( A ) r=r(A) ,则存在 n r n-r 个线性无关的解向量 τ 1 , , τ n r \tau_1,\cdots,\tau_{n-r} V V 中任意向量可表为 τ 1 , , τ n r \tau_1,\cdots,\tau_{n-r} 的线性组合

证:
a 1 , , a n a_1,\cdots,a_n A A 的列向量组。
若是 r ( A ) = n r(A)=n ,方程组等价于
x 1 a 1 + x 2 a 2 + + x n a n = 0 x_1a_1+x_2a_2+\cdots+x_na_n=0 a 1 , , a n a_1,\cdots,a_n 线性无关,方程组仅有零解。
若是 r < n r<n ,不妨设 a 1 , , a r a_1,\cdots,a_r a 1 , , a n a_1,\cdots,a_n 的极大线性无关组,那么 a r + 1 , , a n a_{r+1},\cdots,a_n 能被 a 1 , , a r a_1,\cdots,a_r 线性表出,设
{ a r + 1 = k 11 a 1 + + k r 1 a r a r + 2 = k 12 a 1 + + k r 2 a r a n = k 1 ( n r ) a 1 + + k r ( n r ) a r \begin{cases} a_{r+1}=k_{11}a_1+\cdots+k_{r1}a_r\\ a_{r+2}=k_{12}a_1+\cdots+k_{r2}a_r\\ \cdots\\ a_n = k_{1(n-r)}a_1+\cdots+k_{r(n-r)}a_r \end{cases} 代入,就有
i = 1 r ( x i + x r + 1 k i 1 + + x n k i ( n r ) ) a i = 0 \sum_{i=1}^r{(x_i+x_{r+1}k_{i1}+\cdots+x_nk_{i(n-r)})a_i} =0 再由 a 1 , , a r a_1,\cdots,a_r 线性无关,就能够获得方程组 { x 1 + x r + 1 k 11 + + x n k 1 ( n r ) = 0 x 2 + x r + 1 k 21 + + x n k 2 ( n r ) = 0 x r + x r + 1 k r 1 + + x n k r ( n r ) = 0 (1) \tag{1} \begin{cases} x_1+x_{r+1}k_{11}+\cdots+x_nk_{1(n-r)}=0\\ x_2+x_{r+1}k_{21}+\cdots+x_nk_{2(n-r)}=0\\ \cdots\\ x_r+x_{r+1}k_{r1}+\cdots+x_nk_{r(n-r)}=0 \end{cases} i = 1 , , n r i=1,\cdots,n-r ,令
τ i = ( k 1 i , , k r i , 0 , , 0 , 1 , 0 , , 0 ) \tau_i = (-k_{1i},\cdots,-k_{ri},0,\cdots,0,1,0,\cdots,0) 即第 r + i r+i 个变元取1,前 r r 个变元取 ( k 1 i , , k r i ) (-k_{1i},\cdots,-k_{ri}) ,其他变元取0。容易验证 τ 1 , , τ n r \tau_1,\cdots,\tau_{n-r} 是方程组的解向量,而且线性无关。
任意线性方程组的解必然知足方程组(1)。这样,设 ( x 1 , , x r , x r + 1 , , x n ) (x_1,\cdots,x_r,x_{r+1},\cdots,x_n) 是方程组的解,就有
( x 1 x 2 x r ) = i = 1 n r x r + i ( k 1 i k 2 i k r i ) \left( \begin{matrix} x_1\\ x_2\\ \cdots\\ x_r \end{matrix} \right)= \sum_{i=1}^{n-r}x_{r+i} \left( \begin{matrix} -k_{1i}\\ -k_{2i}\\ \cdots\\ -k_{ri} \end{matrix} \right) 因而
( x 1 x 2 x r x r + 1 x n ) = i = 1 n r x r + i τ i \left( \begin{matrix} x_1\\ x_2\\ \cdots\\ x_r\\ x_{r+1}\\ \cdots\\ x_{n} \end{matrix} \right) = \sum_{i=1}^{n-r}x_{r+i} \tau_i 即任意解向量均可以表为 τ 1 , , τ r \tau_1,\cdots,\tau_r 的线性组合

这就证实了基础解系的存在性,而且由基础解系的构造,任意齐次线性方程组任意两个基础解系的向量个数是一致的。而且,由上面的证实过程,咱们知道 x r + 1 , , x n x_{r+1},\cdots,x_n 是能够任取的,取定一组值, x 1 , , x r x_1,\cdots,x_r 随之肯定,就获得齐次方程组的一组解,这 n r n-r 个元就称为自由变元。总结上面的论述,就有:

定理2.7 齐次线性方程组的系数矩阵为 A A n n 为未知数个数, r = r ( A ) r=r(A) ,则方程组有非零解的充要条件是 r < n r<n ,而且解空间的维数是 n r n-r

至此,咱们完美地解决了齐次线性方程组的求解问题。如今,咱们转入到非齐次方程组的求解问题。对非齐次线性方程组
{ a 11 x 1 + + a 1 n x n = b 1 a 21 x 1 + + a 2 n x n = b 2 a m 1 x 1 + + a m n x n = b m \begin{cases} a_{11}x_1+\cdots+a_{1n}x_n=b_1\\ a_{21}x_1+\cdots+a_{2n}x_n=b_2\\ \cdots\\ a_{m1}x_1+\cdots+a_{mn}x_n=b_m \end{cases} 咱们记系数矩阵为 A A ,增广矩阵为 A \overline{A} 。系数矩阵的列向量组为 a 1 , , a n a_1,\cdots,a_n ,常数项向量为 β \beta ,方程组就等价于
a 1 x 1 + + a n x n = β a_1x_1+\cdots+a_nx_n=\beta 也就是 β \beta 可否被 a 1 , , a n a_1,\cdots,a_n 线性表出。

引理2.3 x 1 , , x m K n x_1,\cdots,x_m\in K^n K n K^n 上线性无关的向量组, β i n K n \beta in K^n ,若是 x 1 , , x m , β x_1,\cdots,x_m,\beta 线性相关,则存在惟一的一组 k 1 , , k m K k_1,\cdots,k_m\in K ,使得
β = k 1 x 1 + + k m x m \beta = k_1x_1+\cdots+k_mx_m

证:
因为 x 1 , , x m , β x_1,\cdots,x_m,\beta ,存在不全为0的一组数 k 1 , , k m , k m + 1 k_1,\cdots,k_m,k_{m+1} ,使得
k 1 x 1 + + k m x m + k m + 1 β = 0 k_1x_1+\cdots+k_mx_m+k_{m+1}\beta=0 若是 k m + 1 0 k_{m+1}\neq 0 ,那么 k 1 , , k m k_1,\cdots,k_m 不全为0,而且
k 1 x 1 + + k m x m = 0 k_1x_1+\cdots+k_mx_m=0 x 1 , , x m x_1,\cdots,x_m 线性无关矛盾,所以 k m + 1 0 k_{m+1}\neq 0 ,即
β = 1 k m + 1 k 1 x 1 + + k m x m \beta = -\frac{1}{k_{m+1}}{k_1x_1+\cdots+k_mx_m} 这就证实了存在性,再证惟一性,假设
β = k 1 x 1 + + k m x m \beta = k_{1}x_1+\cdots+k_mx_m
β = l 1 x 1 + + l m x m \beta = l_1x_1+\cdots+l_mx_m 那么
( k 1 l 1 ) x 1 + + ( k m l m ) x m = 0 (k_1-l_1)x_1+\cdots+(k_m-l_m)x_m=0 x 1 , , x m x_1,\cdots,x_m 线性无关,就有
k i = l i i = 1 , , m k_i=l_i\quad i=1,\cdots,m

定理2.8 非齐次线性方程组的系数矩阵为 A A ,增广矩阵为 A \overline{A} ,则方程组有解的充要条件是 r ( A ) = r ( A ) r(A)=r(\overline{A})

证:
A A 的列向量组为 a 1 , , a n a_1,\cdots,a_n ,常数项向量为 β \beta
必要性,假设方程组有解,那么 β \beta 能被 a 1 , , a n a_1,\cdots,a_n 线性表出,所以, a 1 , , a n , β a_1,\cdots,a_n,\beta \和 a 1 , , a n a_1,\cdots,a_n 等价,从而秩相等,所以 r ( A ) = r ( A ) r(A)=r(\overline{A})
充分性,假设 r ( A ) = r ( A ) r(A)=r(\overline{A}) ,反证法,假设 β \beta 不能被 a 1 , , a n a_1,\cdots,a_n 线性表出,设 a 1 , , a s a_1^\prime,\cdots,a_s^\prime a 1 , , a n a_1,\cdots,a_n 的极大线性无关组,那么 a 1 , , a s , β a_1^\prime,\cdots,a_s^\prime,\beta 必定线性无关,不然 β \beta 能被 a 1 , , a s a_1^\prime,\cdots,a_s^\prime 线性表出,与假设矛盾,这样
r ( A ) r ( A ) + 1 > r ( A ) r(\overline{A})\ge r(A)+1>r(A) 又与 r ( A ) = r ( A ) r(A)=r(\overline{A}) 矛盾,矛盾的根源在假设了 β \beta 不能被 a 1 , , a n a_1,\cdots,a_n 线性表出,故 β \beta 能被 a 1 , , a n a_1,\cdots,a_n 线性表出,齐次线性方程组有解

假设非齐次方程组有解,那么解空间又是何种结构呢?设非齐次线性方程组的解空间是 V V ,若是 x 1 V x_1\in V ,对任意的 x V x\in V x x 1 x-x_1 就是齐次方程的解。也就是说,假设 τ 1 , , τ n r \tau_1,\cdots,\tau_{n-r} 是齐次方程的基础解系,那么存在 c 1 , , c n r c_1,\cdots,c_{n-r} ,使得
x = x 1 + c 1 τ 1 + + c n r τ n r x=x_1+c_1\tau_1+\cdots+c_{n-r}\tau_{n-r} 反过来,对任意的常数 c 1 , , c n r c_1,\cdots,c_{n-r} ,向量
x 1 + c 1 τ 1 + + c n r τ n r x_1+c_1\tau_1+\cdots+c_{n-r}\tau_{n-r} 一定是非齐次方程的解,也就是说,任何非齐次方程的解等于某个特解+齐次方程的通解。至此,咱们已经明晰了非齐次方程和齐次方程解的结构,咱们对上面的论述,总结到以下定理:

定理2.9 非齐次线性方程的系数矩阵为 A A ,增广矩阵为 A \overline{A} ,未知数个数为 n n ,则
(1) r ( A ) r ( A ) r(A)\neq r(\overline{A}) 时方程组无解
(2) r ( A ) = r ( A ) = n r(A)=r(\overline{A})=n 时,方程组有惟一解
(3) r ( A ) = r ( A ) < n r(A)=r(\overline{A})<n 时,方程组有无穷多组解

至此,咱们完全回答了如何求解线性方程组,线性方程组有无解,有多少解的问题。而咱们回答这些问题的过程,是借助向量空间而非直接对数的运算进行讨论的,咱们也能够看到,方程组有界仍是无解的问题,齐次方程有无非零解的问题,本质上是向量空间的向量组线性相关仍是线性无关,向量组的秩,以及某个向量可否被系数矩阵向量组线性表示的问题。可见,要解决一个代数方程的问题,咱们不必定要直接对数的运算进行讨论。更多的是认清代数方程背后的抽象代数系统的代数结构,这就是代数学的核心与精髓。

矩阵论初步

矩阵的加法和数乘

上一章,咱们将矩阵视为向量的组合,这一章,咱们把矩阵视为单独的元素,赋予矩阵一些运算,使矩阵也成为一个代数系统。咱们将会看到,能"算"的,不只仅只有数和向量,甚至矩阵也能"算"。

咱们记全体 K K 上的 m m n n 列矩阵为 M m , n M_{m,n} ,定义 M m , n M_{m,n} 上的加法是对应位置的数相加,即 [ a 11 a 12 a 1 n a m 1 a m 2 a m n ] + [ b 11 b 12 b 1 n b m 1 b m 2 b m n ] = [ a 11 + b 11 a 12 + b 12 a 1 n + b 1 n a m 1 + b m 1 a m 2 + b m 2 a m n + b m n ] \left[ \begin{matrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ \cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\ a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn} \end{matrix} \right] + \left[ \begin{matrix} b_{11}&b_{12}&\cdots&b_{1n}\\ \cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\ b_{m1}&b_{m2}&\cdots&b_{mn} \end{matrix} \right] =\\ \left[ \begin{matrix} a_{11}+b_{11}&a_{12}+b_{12}&\cdots&a_{1n}+b_{1n}\\ \cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\ a_{m1}+b_{m1}&a_{m2}+b_{m2}&\cdots&a_{mn}+b_{mn} \end{matrix} \right] 矩阵的数乘定义为 k [ a 11 a 12 a 1 n a m 1 a m 2 a m n ] = [ k a 11 k a 12 k a 1 n k a m 1 k a m 2 k a m n ] k\left[ \begin{matrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ \cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\ a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn} \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} ka_{11}&ka_{12}&\cdots&ka_{1n}\\ \cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\ ka_{m1}&ka_{m2}&\cdots&ka_{mn} \end{matrix} \right] 由数域的运算规律,容易验证,矩阵空间 M m , n M_{m,n} 也有以下的八条运算规律:
(1) A M m , n , B M m , n A\in M_{m,n},B\in M_{m,n}