数学建模及机器学习算法，一：聚类-kmeans
一、聚类的概念
聚类分析是在数据中发现数据对象之间的关系，将数据进行分组，组内的相似性越大，组间的差别越大，则聚类效果越好。我们事先并不知道数据的正确结果(类标)，通过聚类算法来发现和挖掘数据本身的结构信息，对数据进行分簇(分类)。聚类算法的目标是，簇内相似度高，簇间相似度低
二、基本的聚类分析算法
1. K均值(K-Means)：
基于原型的、划分的距离技术，它试图发现用户指定个数(K)的簇。
2. 凝聚的层次距离：
思想是开始时，每个点都作为一个单点簇，然后，重复的合并两个最靠近的簇，直到尝试单个、包含所有点的簇。
3. DBSCAN:
一种基于密度的划分距离的算法，簇的个数有算法自动的确定，低密度中的点被视为噪声而忽略，因此其不产生完全聚类。
三、距离量度
不同的距离量度会对距离的结果产生影响，常见的距离量度如下所示：
四、K-Means
在聚类算法中K-Means算法是一种最流行的、使用最广泛的一种聚类算法，因为它的易于实现且计算效率也高。聚类算法的应用领域也是非常广泛的，包括不同类型的文档分类、音乐、电影、基于用户购买行为的分类、基于用户兴趣爱好来构建推荐系统等。
优点：易于实现
缺点：可能收敛于局部最小值，在大规模数据收敛慢
算法思想：
1 选择K个点作为初始质心 2 repeat 3 将每个点指派到最近的质心，形成K个簇 4 重新计算每个簇的质心 5 until 簇不发生变化或达到最大迭代次数
这里的重新计算每个簇的质心，更新过程是：首先找到与每个点距离最近的中心点，构成每个中心点划分的k个点集，然后对于每个点集，计算点的均值代替中心点。
如何计算是根据目标函数得来的，因此在开始时我们要考虑距离度量和目标函数。
考虑欧几里得距离的数据，使用误差平方和（Sum of the Squared Error,SSE）作为聚类的目标函数，两次运行K均值产生的两个不同的簇集，我们更喜欢SSE最小的那个：
k表示k个聚类中心，ci表示第几个中心，dist表示的是欧几里得距离。
前面说的我们更新质心是让所有的点的平均值，这里就是SSE所决定的：
因此K-Means算法的实现步骤，主要分为四个步骤：
1、从样本集合中随机抽取k个样本点作为初始簇的中心。
2、将每个样本点划分到距离它最近的中心点所代表的簇中。
3、用各个簇中所有样本点的中心点代表簇的中心点。
4、重复2和3，直到簇的中心点不变或达到设定的迭代次数或达到设定的容错范围。
五、k-means代码实现
本文采用sklearn来实现一个k-means算法的应用，细节的底层实现可见文末第一个链接。
1.首先使用sklearn的数据集，数据集中包含150个随机生成的点，样本点分为三个不同的簇：
1 from sklearn.datasets import make_blobs 2 import matplotlib.pyplot as plt 3 4 5 if __name__ == "__main__": 6 \'\'\' 7 n_samples：代表样本点的个数 8 n_features：表示每个样本由两个特征组成 9 center：表示样本点中心的个数(簇) 10 cluster_std：表示每个样本簇方差的大小 11 \'\'\' 12 x,y = make_blobs(n_samples=150,n_features=2,centers=3, 13 cluster_std=0.5,shuffle=True,random_state=0) 14 #绘点 15 plt.scatter(x[:,0],x[:,1],marker="o",color="blue") 16 #以表格的形式显示 17 plt.grid() 18 plt.show()
效果如下：
2.下面使用sklearn内置的KMeans算法来实现对上面样本点的聚类分析：
1 from sklearn.cluster import KMeans 2 \'\'\' 3 n_clusters:设置簇的个数 4 init:random表示使用Kmeans算法，默认是k-means++ 5 n_init:设置初始样本中心的个数 6 max_iter:设置最大迭代次数 7 tol:设置算法的容错范围SSE(簇内误平方差) 8 \'\'\' 9 kmeans = KMeans(n_clusters=3,init="random",n_init=10,max_iter=300, 10 tol=1e-04,random_state=0) 11 y_km = kmeans.fit_predict(x)
六、k-means缺陷
k均值算法非常简单且使用广泛，但有一些缺点：
1. K值需要预先给定，属于预先知识，很多情况下K值的估计是非常困难的，因此会有后面的k值确定。
2. K-Means算法对初始选取的聚类中心点是敏感的，不同的随机种子点得到的聚类结果完全不同 。可能只能得到局部的最优解，而无法得到全局的最优解。
3. K-Means算法并不是很所有的数据类型。它不能处理非球形簇、不同尺寸和不同密度的簇。
4. 对离群点的数据进行聚类时，K-Means也有问题。
七、K-Means++
K-Means算法需要随机选择初始化的中心点，如果中心点选择不合适，可能会导致簇的效果不好或产生收敛速度慢等问题。解决这个问题一个比较合适的方法就是，在数据集上多次运行K-Means算法，根据簇内误差平方和(SSE)来选择性能最好的模型。除此之外，还可以通过K-Means++算法，让初始的中心点彼此的距离尽可能的远，相比K-Means算法，它能够产生更好的模型。
K-Means++有下面几个步骤组成：
1、初始化一个空的集合M，用于存储选定的k个中心点
2、从输入的样本中随机选择第一个中心点μ，并将其加入到集合M中
3、对于集合M之外的任意样本点x，通过计算找到与其距离最小的样本d(x,M)
4、使用加权概率分布来随机来随机选择下一个中心点μ
5、重复步骤2和3，直到选定k个中心点
6、基于选定的中心点执行k-means算法
使用sklearn来实现K-Means++，只需要将init参数设置为"k-means++"，默认设置是"k-means++"。
1 km = KMeans(n_clusters=3,init="k-means++",n_init=10,max_iter=300, 2 tol=1e-04,random_state=0) 3 #y_km中保存了聚类的结果 4 y_km = km.fit_predict(x) 5 #绘制不同簇的点 6 plt.scatter(x[y_km==0,0],x[y_km==0,1],s=50,c="orange",marker="o",label="cluster 1") 7 plt.scatter(x[y_km==1,0],x[y_km==1,1],s=50,c="green",marker="s",label="cluster 2") 8 plt.scatter(x[y_km==2,0],x[y_km==2,1],s=50,c="blue",marker="^",label="cluster 3") 9 #绘制簇的中心点 10 plt.scatter(km.cluster_centers_[:,0],km.cluster_centers_[:,1],s=250,marker="*",c="red" 11 ,label="cluster center") 12 plt.legend() 13 plt.grid() 14 plt.show()
通过上面图可以发现k-means++的聚类效果还不错，簇的中心点，基本位于球心。
使用技巧：
1.在实际情况中使用k-means++算法可能会遇到，由于样本的维度太高无法可视化，从而无法设定样本的簇数。可视化问题可在聚类后显示前用pca对数据降维显示。
2.由于k-means算法是基于欧式距离来计算的，所以k-means算法对于数据的范围比较敏感，所以在使用k-means算法之前，需要先对数据进行标准化，保证k-means算法不受特征量纲的影响。
八、Mini Batch k-Means
在原始的K-means算法中，每一次的划分所有的样本都要参与运算，如果数据量非常大的话，这个时间是非常高的，因此有了一种分批处理的改进算法。
使用Mini Batch（分批处理）的方法对数据点之间的距离进行计算。
Mini Batch的好处：不必使用所有的数据样本，而是从不同类别的样本中抽取一部分样本来代表各自类型进行计算。n 由于计算样本量少，所以会相应的减少运行时间n 但另一方面抽样也必然会带来准确度的下降。
(其他关于k-means的优化还有很多，可参考链接或自行总结)
九、K值的确定
1.根据实际需要
2.肘部法则（Elbow Method）-见后文
3.轮廓系数（Silhouette Coefficient）-见后文
4.层次聚类
层次聚类是通过可视化然后人为去判断大致聚为几类，很明显在共同父节点的一颗子树可以被聚类为一个类
5.Canopy算法
肘部法则（Elbow Method）和轮廓系数（Silhouette Coefficient）来对k值进行最终的确定，但是这些方法都是属于“事后”判断的，而Canopy算法的作用就在于它是通过事先粗聚类的方式，为k-means算法确定初始聚类中心个数和聚类中心点。
与传统的聚类算法(比如K-Means)不同，Canopy聚类最大的特点是不需要事先指定k值(即clustering的个数)，因此具有很大的实际应用价值。与其他聚类算法相比，Canopy聚类虽然精度较低，但其在速度上有很大优势，因此可以使用Canopy聚类先对数据进行“粗”聚类，得到k值，以及大致的k个中心点，再使用K-Means进行进一步“细”聚类。所以Canopy+K-Means这种形式聚类算法聚类效果良好。
Canopy算法解析：
- 原始数据集合List按照一定的规则进行排序（这个规则是任意的，但是一旦确定就不再更改），初始距离阈值为T1、T2，且T1>T2（T1、T2的设定可以根据用户的需要，或者使用交叉验证获得）。
- 在List中随机挑选一个数据向量A，使用一个粗糙距离计算方式计算A与List中其他样本数据向量之间的距离d。
- 根据第2步中的距离d，把d小于T1的样本数据向量划到一个canopy中，同时把d小于T2的样本数据向量从候选中心向量名单（这里可以理解为就是List）中移除。
- 重复第2、3步，直到候选中心向量名单为空，即List为空，算法结束。
算法原理比较简单，就是对数据进行不断遍历，T2<dis<T1的可以作为中心名单，dis<T2的认为与canopy太近了，以后不会作为中心点，从list中删除，这样的话一个点可能属于多个canopy。
canopy效果图如下：
Canopy算法优势：
- Kmeans对噪声抗干扰较弱，通过Canopy对比较小的NumPoint的Cluster直接去掉 有利于抗干扰。
- Canopy选择出来的每个Canopy的centerPoint作为Kmeans比较科学。
- 只是针对每个Canopy的内容做Kmeans聚类，减少相似计算的数量。
Canopy算法缺点：
- 算法中 T1、T2（T2 < T1） 的确定问题（也有专门的算法去描述，但可以自己多次试错
Python实现：
1 # -*- coding: utf-8 -*- 2 import math 3 import random 4 import numpy as np 5 import matplotlib.pyplot as plt 6 7 class Canopy: 8 def __init__(self, dataset): 9 self.dataset = dataset 10 self.t1 = 0 11 self.t2 = 0 12 13 # 设置初始阈值 14 def setThreshold(self, t1, t2): 15 if t1 > t2: 16 self.t1 = t1 17 self.t2 = t2 18 else: 19 print(\'t1 needs to be larger than t2!\') 20 21 # 使用欧式距离进行距离的计算 22 def euclideanDistance(self, vec1, vec2): 23 return math.sqrt(((vec1 - vec2)**2).sum()) 24 25 # 根据当前dataset的长度随机选择一个下标 26 def getRandIndex(self): 27 return random.randint(0, len(self.dataset) - 1) 28 29 def clustering(self): 30 if self.t1 == 0: 31 print(\'Please set the threshold.\') 32 else: 33 canopies = [] # 用于存放最终归类结果 34 while len(self.dataset) != 0: 35 rand_index = self.getRandIndex() 36 current_center = self.dataset[rand_index] # 随机获取一个中心点，定为P点 37 current_center_list = [] # 初始化P点的canopy类容器 38 delete_list = [] # 初始化P点的删除容器 39 self.dataset = np.delete( 40 self.dataset, rand_index, 0) # 删除随机选择的中心点P 41 for datum_j in range(len(self.dataset)): 42 datum = self.dataset[datum_j] 43 distance = self.euclideanDistance( 44 current_center, datum) # 计算选取的中心点P到每个点之间的距离 45 if distance < self.t1: 46 # 若距离小于t1，则将点归入P点的canopy类 47 current_center_list.append(datum) 48 if distance < self.t2: 49 delete_list.append(datum_j) # 若小于t2则归入删除容器 50 # 根据删除容器的下标，将元素从数据集中删除 51 self.dataset = np.delete(self.dataset, delete_list, 0) 52 canopies.append((current_center, current_center_list)) 53 return canopies 54 55 56 def showCanopy(canopies, dataset, t1, t2): 57 fig = plt.figure() 58 sc = fig.add_subplot(111) 59 colors = [\'brown\', \'green\', \'blue\', \'y\', \'r\', \'tan\', \'dodgerblue\', \'deeppink\', \'orangered\', \'peru\', \'blue\', \'y\', \'r\', 60 \'gold\', \'dimgray\', \'darkorange\', \'peru\', \'blue\', \'y\', \'r\', \'cyan\', \'tan\', \'orchid\', \'peru\', \'blue\', \'y\', \'r\', \'sienna\'] 61 markers = [\'*\', \'h\', \'H\', \'+\', \'o\', \'1\', \'2\', \'3\', \',\', \'v\', \'H\', \'+\', \'1\', \'2\', \'^\', 62 \'<\', \'>\', \'.\', \'4\', \'H\', \'+\', \'1\', \'2\', \'s\', \'p\', \'x\', \'D\', \'d\', \'|\', \'_\'] 63 for i in range(len(canopies)): 64 canopy = canopies[i] 65 center = canopy[0] 66 components = canopy[1] 67 sc.plot(center[0], center[1], marker=markers[i], 68 color=colors[i], markersize=10) 69 t1_circle = plt.Circle( 70 xy=(center[0], center[1]), radius=t1, color=\'dodgerblue\', fill=False) 71 t2_circle = plt.Circle( 72 xy=(center[0], center[1]), radius=t2, color=\'skyblue\', alpha=0.2) 73 sc.add_artist(t1_circle) 74 sc.add_artist(t2_circle) 75 for component in components: 76 sc.plot(component[0], component[1], 77 marker=markers[i], color=colors[i], markersize=1.5) 78 maxvalue = np.amax(dataset) 79 minvalue = np.amin(dataset) 80 plt.xlim(minvalue - t1, maxvalue + t1) 81 plt.ylim(minvalue - t1, maxvalue + t1) 82 plt.show() 83 84 85 if __name__ == "__main__": 86 dataset = np.random.rand(500, 2) # 随机生成500个二维[0,1)平面点 87 t1 = 0.6 88 t2 = 0.4 89 gc = Canopy(dataset) 90 gc.setThreshold(t1, t2) 91 canopies = gc.clustering() 92 print(\'Get %s initial centers.\' % len(canopies)) 93 showCanopy(canopies, dataset, t1, t2)View Code
6.间隔统计量 Gap Statistic
根据肘部法则选择最合适的K值有事并不是那么清晰，因此斯坦福大学的Robert等教授提出了Gap Statistic方法。
这里我们要继续使用上面的。Gap Statistic的定义为:
这里指的是的期望。这个数值通常通过蒙特卡洛模拟产生，我们在样本里所在的矩形区域中（高维的话就是立方体区域）按照均匀分布随机地产生和原始样本数一样多的随机样本，并对这个随机样本做K-Means，从而得到一个。如此往复多次，通常20次，我们可以得到20个。对这20个数值求平均值，就得到了的近似值。最终可以计算Gap Statisitc。而Gap statistic取得最大值所对应的K就是最佳的K。
Gap Statistic的基本思路是：引入参考的测值，这个参考值可以有Monte Carlo采样的方法获得。
B是sampling的次数。为了修正MC带来的误差，我们计算sk也即标准差来矫正Gap Statistic。
选择满足的最小的k作为最优的聚类个数。
Python实现：
1 import scipy
2 from scipy.spatial.distance import euclidean
3 from sklearn.cluster import KMeans as k_means
4
5 dst = euclidean
6
7 k_means_args_dict = {
8 \'n_clusters\': 0,
9 # drastically saves convergence time
10 \'init\': \'k-means++\',
11 \'max_iter\': 100,
12 \'n_init\': 1,
13 \'verbose\': False,
14 # \'n_jobs\':8
15 }
16
17
18 def gap(data, refs=None, nrefs=20, ks=range(1, 11)):
19 """
20 I: NumPy array, reference matrix, number of reference boxes, number of clusters to test
21 O: Gaps NumPy array, Ks input list
22
23 Give the list of k-values for which you want to compute the statistic in ks. By Gap Statistic
24 from Tibshirani, Walther.
25 """
26 shape = data.shape
27
28 if not refs:
29 tops = data.max(axis=0)
30 bottoms = data.min(axis=0)
31 dists = scipy.matrix(scipy.diag(tops - bottoms))
32 rands = scipy.random.random_sample(size=(shape[0], shape[1], nrefs))
33 for i in range(nrefs):
34 rands[:, :, i] = rands[:, :, i] * dists + bottoms
35 else:
36 rands = refs
37
38 gaps = scipy.zeros((len(ks),))
39
40 for (i, k) in enumerate(ks):
41 k_means_args_dict[\'n_clusters\'] = k
42 kmeans = k_means(**k_means_args_dict)
43 kmeans.fit(data)
44 (cluster_centers, point_labels) = kmeans.cluster_centers_, kmeans.labels_
45
46 disp = sum(
47 [dst(data[current_row_index, :], cluster_centers[point_labels[current_row_index], :]) for current_row_index
48 in range(shape[0])])
49
50 refdisps = scipy.zeros((rands.shape[2],))
51
52 for j in range(rands.shape[2]):
53 kmeans = k_means(**k_means_args_dict)
54 kmeans.fit(rands[:, :, j])
55 (cluster_centers, point_labels) = kmeans.cluster_centers_, kmeans.labels_
56 refdisps[j] = sum(
57 [dst(rands[current_row_index, :, j], cluster_centers[point_labels[current_row_index], :]) for
58 current_row_index in range(shape[0])])
59
60 # let k be the index of the array \'gaps\'
61 gaps[i] = scipy.mean(scipy.log(refdisps)) - scipy.log(disp)
62
63 return ks, gaps
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十、聚类效果评估
1.簇内误方差(SSE)
在对簇的划分中，我们就使用了SSE作为目标函数来划分簇。当KMeans算法训练完成后，我们可以通过使用inertia属性来获取簇内的误方差，不需要再次进行计算。
1 #用来存放设置不同簇数时的SSE值
2 distortions = []
3 for i in range(1,11):
4 km = KMeans(n_clusters=i,init="k-means++",n_init=10,max_iter=300,tol=1e-4,random_state=0)
5 km.fit(x)
6 #获取K-means算法的SSE
7 distortions.append(km.inertia_)
8 #绘制曲线
9 plt.plot(range(1,11),distortions,marker="o")
10 plt.xlabel("簇数量")
11 plt.ylabel("簇内误方差(SSE)")
12 plt.show()可以使用图形工具肘方法，根据簇的数量来可视化簇内误方差。通过图形可以直观的观察到k对于簇内误方差的影响。也可以用来确定K值。
通过上图可以发现，当簇数量为3的时候出现了肘型，这说明k取3是一个不错的选择。但不一定所有的问题都能用肘部法则来解决，如下图右图中，肘部不明显。因此肘部法则只是一种可尝试的方法。
2、轮廓图定量分析聚类质量
轮廓分析(silhouette analysis)，使用图形工具来度量簇中样本的聚集程度，除k-means之外也适用于其他的聚类算法。通过三个步骤可以计算出当个样本的轮廓系数(silhouette coefficient)：
1、将样本x与簇内的其他点之间的平均距离作为簇内的内聚度a
2、将样本x与最近簇中所有点之间的平均距离看作是与最近簇的分离度b
3、将簇的分离度与簇内聚度之差除以二者中比较大的数得到轮廓系数，计算公式如下
轮廓系数的取值在-1到1之间。当簇内聚度与分度离相等时，轮廓系数为0。当b>>a时，轮廓系数近似取到1，此时模型的性能最佳。
1 km = KMeans(n_clusters=3,init="k-means++",n_init=10,max_iter=300,tol=1e-4,random_state=0)
2 y_km = km.fit_predict(x)
3 import numpy as np
4 from matplotlib import cm
5 from sklearn.metrics import silhouette_samples
6 #获取簇的标号
7 cluster_labels = np.unique(y_km)
8 #获取簇的个数
9 n_clusters = cluster_labels.shape[0]
10 #基于欧式距离计算轮廓系数
11 silhoutte_vals = silhouette_samples(x,y_km,metric="euclidean")
12 #设置y坐标的起始位置
13 y_ax_lower,y_ax_upper=0,0
14 yticks=[]
15 for i,c in enumerate(cluster_labels):
16 #获取不同簇的轮廓系数
17 c_silhouette_vals = silhoutte_vals[y_km == c]
18 #对簇中样本的轮廓系数由小到大进行排序
19 c_silhouette_vals.sort()
20 #获取到簇中轮廓系数的个数
21 y_ax_upper += len(c_silhouette_vals)
22 #获取不同颜色
23 color = cm.jet(i / n_clusters)
24 #绘制水平直方图
25 plt.barh(range(y_ax_lower,y_ax_upper),c_silhouette_vals,
26 height=1.0,edgecolor="none",color=color)
27 #获取显示y轴刻度的位置
28 yticks.append((y_ax_lower+y_ax_upper) / 2)
29 #下一个y轴的起点位置
30 y_ax_lower += len(c_silhouette_vals)
31 #获取轮廓系数的平均值
32 silhouette_avg = np.mean(silhoutte_vals)
33 #绘制一条平行y轴的轮廓系数平均值的虚线
34 plt.axvline(silhouette_avg,color="red",line)
35 #设置y轴显示的刻度
36 plt.yticks(yticks,cluster_labels+1)
37 plt.ylabel("簇")
38 plt.xlabel("轮廓系数")
39 plt.show()
通过轮廓图，我们能够看出样本的簇数以及判断样本中是否包含异常值。为了评价聚类模型的性能，可以通过评价轮廓系数，也就是图中的红色虚线进行评价。
类似SSE，也可以做出不同k值下的效果图：
可以看到也是在聚类数为3时轮廓系数达到了峰值，所以最佳聚类数为3
十一、MATLAB实现
最后针对使用MATLAB的给出代码，细节与上文类似：
代码一：
生成随机二维分布图形，三个中心
1 % 使用高斯分布（正态分布） 2 % 随机生成3个中心以及标准差 3 s = rng(5,\'v5normal\'); 4 mu = round((rand(3,2)-0.5)*19)+1; 5 sigma = round(rand(3,2)*40)/10+1; 6 X = [mvnrnd(mu(1,:),sigma(1,:),200); ... 7 mvnrnd(mu(2,:),sigma(2,:),300); ... 8 mvnrnd(mu(3,:),sigma(3,:),400)]; 9 % 作图 10 P1 = figure;clf; 11 scatter(X(:,1),X(:,2),10,\'ro\'); 12 title(\'研究样本散点分布图\')
分层聚类：
1 eucD = pdist(X,\'euclidean\'); 2 clustTreeEuc = linkage(eucD,\'average\'); 3 cophenet(clustTreeEuc,eucD); 4 5 P3 = figure;clf; 6 [h,nodes] = dendrogram(clustTreeEuc,20); 7 set(gca,\'TickDir\',\'out\',\'TickLength\',[.002 0],\'XTickLabel\',[]);
调用k-means,分成三类
1 [cidx3,cmeans3,sumd3,D3] = kmeans(X,3,\'dist\',\'sqEuclidean\'); 2 P4 = figure;clf; 3 [silh3,h3] = silhouette(X,cidx3,\'sqeuclidean\');
结果显示：
1 P5 = figure;clf
2 ptsymb = {\'bo\',\'ro\',\'go\',\',mo\',\'c+\'};
3 MarkFace = {[0 0 1],[.8 0 0],[0 .5 0]};
4 hold on
5 for i =1:3
6 clust = find(cidx3 == i);
7 plot(X(clust,1),X(clust,2),ptsymb{i},\'MarkerSize\',3,\'MarkerFace\',MarkFace{i},\'MarkerEdgeColor\',\'black\');
8 plot(cmeans3(i,1),cmeans3(i,2),ptsymb{i},\'MarkerSize\',10,\'MarkerFace\',MarkFace{i});
9 end
10 hold off
分别用等高线、分布图、热能图和概率图展示结果
1 % 等高线
2 options = statset(\'Display\',\'off\');
3 gm = gmdistribution.fit(X,3,\'Options\',options);
4
5 P6 = figure;clf
6 scatter(X(:,1),X(:,2),10,\'ro\');
7 hold on
8 ezcontour(@(x,y) pdf(gm,[x,y]),[-15 15],[-15 10]);
9 hold off
10
11 P7 = figure;clf
12 scatter(X(:,1),X(:,2),10,\'ro\');
13 hold on
14 ezsurf(@(x,y) pdf(gm,[x,y]),[-15 15],[-15 10]);
15 hold off
16 view(33,24)
17
18
19
20 热能图
21 cluster1 = (cidx3 == 1);
22 cluster3 = (cidx3 == 2);
23 % 通过观察，K均值方法的第二类是gm的第三类
24 cluster2 = (cidx3 == 3);
25 % 计算分类概率
26 P = posterior(gm,X);
27 P8 = figure;clf
28 plot3(X(cluster1,1),X(cluster1,2),P(cluster1,1),\'r.\')
29 grid on;hold on
30 plot3(X(cluster2,1),X(cluster2,2),P(cluster2,2),\'bo\')
31 plot3(X(cluster3,1),X(cluster3,2),P(cluster3,3),\'g*\')
32 legend(\'第 1 类\',\'第 2 类\',\'第 3 类\',\'Location\',\'NW\')
33 clrmap = jet(80); colormap(clrmap(9:72,:))
34 ylabel(colorbar,\'Component 1 Posterior Probability\')
35 view(-45,20);
36 % 第三类点部分概率值较低，可能需要其他数据来进行分析。
37
38 % 概率图
39 P9 = figure;clf
40 [~,order] = sort(P(:,1));
41 plot(1:size(X,1),P(order,1),\'r-\',1:size(X,1),P(order,2),\'b-\',1:size(X,1),P(order,3),\'y-\');
42 legend({\'Cluster 1 Score\' \'Cluster 2 Score\' \'Cluster 3 Score\'},\'location\',\'NW\');
43 ylabel(\'Cluster Membership Score\');
44 xlabel(\'Point Ranking\');
View Code
AIC准则寻找最优分类
1 AIC = zeros(1,4);
2 NlogL = AIC;
3 GM = cell(1,4);
4 for k = 1:4
5 GM{k} = gmdistribution.fit(X,k);
6 AIC(k)= GM{k}.AIC;
7 NlogL(k) = GM{k}.NlogL;
8 end
9 [minAIC,numComponents] = min(AIC);代码二（简单版）：
%随机初始化中心点，可以随机取数据集中的任意k个点
function centroids = kMeansInitCentroids(X, K)
centroids = zeros(K, size(X, 2));
randidx = randperm(size(X, 1));
centroids = X(randidx(1 : K), :);
end
%对每个点，找到其所属的中心点，即距离其最近的中心点。 返回一个向量，为每个点对应的中心点id。
function idx = findClosestCentroids(X, centroids)
K = size(centroids, 1);
for i = 1 : size(X, 1)
min_dis = +inf;
for j = 1 : K
now_dis = sum((X(i, :) - centroids(j, :)).^2);
if now_dis < min_dis
min_dis = now_dis;
idx(i) = j;
end
end
end
end
%用每个中心点统领的那类点的均值，更新中心点。
function centroids = computeCentroids(X, idx, K)
[m n] = size(X);
cnt = zeros(K, n);
for i = 1 : m
cnt(idx(i), :) = cnt(idx(i), :) + 1;
centroids(idx(i), :) = centroids(idx(i), :) + X(i, :);
end
cnt = 1 ./ cnt;
centroids = cnt .* centroids;
end
centroids = kMeansInitCentroids(X, k);
for iter = 1 : iterations
idx = findClosestCentroids(X, centroids);
centroids = computeMeans(X, idx, K);
end