数学分析笔记17:曲线积分与曲面积分

2020年06月05日 阅读数:3571
这篇文章主要向大家介绍数学分析笔记17:曲线积分与曲面积分,主要内容包括基础应用、实用技巧、原理机制等方面,希望对大家有所帮助。

第一型曲线积分与曲面积分

第一型曲线积分

曲线的弧长

在定积分的几何应用一节咱们已经介绍了曲线弧长公式,如今,咱们对曲线的弧长做一个完整的论述,以引出第一型曲线积分的定义。html

定义17.1 对1元 n n 维向量函数 ϕ ( t ) = ( ϕ 1 ( t ) , , ϕ n ( t ) ) , t [ a , b ] \phi(t)=(\phi_1(t),\cdots,\phi_n(t)),t\in [a,b] ,若是 ϕ ( t ) \phi(t) 是连续的,则称 γ : { ϕ ( t ) : t [ a , b ] } \gamma:\{\phi(t):t\in[a,b]\} R n R^n 上的连续曲线,若是对于 t 1 , t 2 [ a , b ] , t 1 t 2 , t 1 a t 2 b t_1,t_2\in[a,b],t_1\neq t_2,t_1\neq a或t_2\neq b ,都有 ϕ ( t 1 ) ϕ ( t 2 ) \phi(t_1)\neq \phi(t_2) ,则称 γ \gamma 为若当曲线或简单曲线,若是 γ \gamma 是简单曲线同时 ϕ ( a ) = ϕ ( b ) \phi(a)=\phi(b) ,则称 γ \gamma 为若当闭曲线,若是 ϕ ( t ) \phi(t) [ a , b ] [a,b] 上有连续的导数,则称 γ \gamma 为光滑的曲线web

假设曲线 γ \gamma 的起点和终点分别为 A , B A,B ,在中间取 n n 个点 A 1 , , A n A_1,\cdots,A_n ,可将 γ \gamma 分为 n + 1 n+1 段。令 A 0 = A , A n + 1 = B A_0=A,A_{n+1}=B ,链接 A k 1 , A k , k = 1 , , n + 1 A_{k-1},A_k,k=1,\cdots,n+1 ,获得一段内接折线。之内接折线的长度做为曲线弧长的估计。 L k = 1 n + 1 A k A k 1 L\approx \sum_{k=1}^{n+1}||A_{k}-A_{k-1}|| 这里 A k ( k = 0 , , n + 1 ) A_k(k=0,\cdots,n+1) 视为向量。因为两点之间线段最短,若是取另一个分划 P 2 : A 0 = A , A 1 , , A m , A m + 1 = B P_2:A_0^\prime=A,A_1^\prime,\cdots,A_m^\prime,A_{m+1}^\prime=B ,若是 P 1 : A 0 , , A n + 1 P_1:A_0,\cdots,A_{n+1} 都在 P 2 P_2 内,则称 P 2 P_2 P 1 P_1 的加细,则 k = 1 m + 1 A k A k 1 k = 1 n + 1 A k A k 1 \sum_{k=1}^{m+1}||A_k^\prime-A_{k-1}^\prime||\ge \sum_{k=1}^{n+1}||A_{k}-A_{k-1}|| 不断加细,若是有一个上确界,那么这个上确界就称为是曲线的弧长,以下图。
在这里插入图片描述
若是 A 1 A_1^\prime A 0 , A 1 A_0,A_1 之间,那么必有 A 1 A 0 + A 1 A 1 A 1 A 0 ||A_1^\prime-A_0||+||A_1-A_1^\prime||\ge ||A_1-A_0|| 。这就是为何 k = 1 m + 1 A k A k 1 k = 1 n + 1 A k A k 1 \sum_{k=1}^{m+1}||A_k^\prime-A_{k-1}^\prime||\ge \sum_{k=1}^{n+1}||A_{k}-A_{k-1}|| app

定义17.2 γ \gamma 是一段 R n R^n 上的连续曲线,若是上确界 L = sup Δ : A 0 , , A n , , A n + 1 γ k = 1 n + 1 A k A k 1 L=\sup_{\Delta:A_0,\cdots,A_n,\cdots,A_{n+1}是\gamma的分划}\sum_{k=1}^{n+1}||A_k-A_{k-1}|| 存在,则称 γ \gamma 为可求长曲线,其称 L L γ \gamma 的弧长ide

在定积分一节中,咱们求弧长的办法是,对连续曲线 γ : ϕ ( t ) = ( ϕ 1 ( t ) , , ϕ n ( t ) ) , t [ a , b ] \gamma:\phi(t)=(\phi_1(t),\cdots,\phi_n(t)),t\in[a,b] [ a , b ] [a,b] 的分划 Δ : a = t 0 < < t n < t n + 1 = b \Delta:a=t_0<\cdots<t_n<t_{n+1}=b ,则 L = lim λ ( Δ ) 0 k = 1 n + 1 ϕ ( t k ) ϕ ( t k 1 ) L=\lim_{\lambda(\Delta)\to 0}\sum_{k=1}^{n+1}||\phi(t_k)-\phi(t_{k-1})|| 这个公式和定义17.2形式上不是彻底一致的,但下面咱们将证实这两个定义的彻底相同的。svg

定理17.1 γ : ϕ ( t ) , a t b \gamma:\phi(t),a\le t\le b R n R^n 的一段可求长曲线, L L 是其弧长,则 L = lim λ ( Δ ) 0 k = 1 n + 1 ϕ ( t k ) ϕ ( t k 1 ) L=\lim_{\lambda(\Delta)\to 0}\sum_{k=1}^{n+1}||\phi(t_k)-\phi(t_{k-1})||
该定理的过程与达布定理及其相似。函数

证:
L L 的定义,对任意的 ε > 0 \varepsilon>0 ,存在分划 Δ 0 : a = t 0 ( 0 ) < t 1 ( 0 ) < < t m ( 0 ) < t m + 1 ( 0 ) = b \Delta_0:a=t_0^{(0)}<t_1^{(0)}<\cdots<t_m^{(0)}<t_{m+1}^{(0)}=b ,知足 L k = 1 m + 1 ϕ ( t k ( 0 ) ) ϕ ( t k 1 ( 0 ) ) > L ε 2 L\ge \sum_{k=1}^{m+1}||\phi(t^{(0)}_{k})-\phi(t^{(0)}_{k-1})||>L-\frac{\varepsilon}{2} 因为 ϕ ( t ) \phi(t) [ a , b ] [a,b] 上连续,则 ϕ ( t ) \phi(t) [ a , b ] [a,b] 上一致连续,存在 δ > 0 \delta>0 ,当 x 1 , x 2 [ a , b ] x_1,x_2\in [a,b] x 1 x 2 < δ |x_1-x_2|<\delta 时,就有 ϕ ( x 2 ) ϕ ( x 1 ) < ε 2 m ( m + 1 ) ||\phi(x_2)-\phi(x_1)||<\frac{\varepsilon}{2m(m+1)} 对任意的分划 Δ : a = t 0 < t 1 < < t s = b \Delta:a=t_0<t_1<\cdots<t_s=b ,再设 Δ = Δ 0 Δ : a = t 0 < t 1 < < t p < t p + 1 = b \Delta^\prime=\Delta_0\cup\Delta:a=t_0^\prime<t_1^\prime<\cdots<t_p^\prime<t_{p+1}^\prime=b ,则 L k = 1 p + 1 ϕ ( t k ) ϕ ( t k 1 ) k = 1 m + 1 ϕ ( t k ( 0 ) ) ϕ ( t k 1 ( 0 ) ) > L ε 2 \begin{aligned} L\ge& \sum_{k=1}^{p+1}||\phi(t_k^\prime)-\phi(t_{k-1}^\prime)||\\\ge &\sum_{k=1}^{m+1}||\phi(t^{(0)}_{k})-\phi(t^{(0)}_{k-1})||>L-\frac{\varepsilon}{2} \end{aligned} 从而 k = 1 p + 1 ϕ ( t k ) ϕ ( t k 1 ) L < ε 2 \left|\sum_{k=1}^{p+1}||\phi(t_k^\prime)-\phi(t_{k-1}^\prime)||-L\right|<\frac{\varepsilon}{2} 只要 λ ( Δ ) < δ \lambda(\Delta)<\delta Δ \Delta 中至多有 m m 个小区间插入了 Δ 0 \Delta_0 的分点,一个小区间至多插入 m m Δ 0 \Delta_0 的分点,从而 k = 1 p + 1 ϕ ( t k ) ϕ ( t k 1 ) k = 1 s + 1 ϕ ( t k ) ϕ ( t k 1 ) = k = 1 p + 1 ϕ ( t k ) ϕ ( t k 1 ) k = 1 s + 1 ϕ ( t k ) ϕ ( t k 1 ) < m ( m + 1 ) ε 2 m ( m + 1 ) = ε 2 \begin{aligned} &\left|\sum_{k=1}^{p+1}||\phi(t^\prime_{k})-\phi(t^\prime_{k-1})||-\sum_{k=1}^{s+1}||\phi(t_{k})-\phi(t_{k-1})||\right|\\ =&\sum_{k=1}^{p+1}||\phi(t^\prime_{k})-\phi(t^\prime_{k-1})||-\sum_{k=1}^{s+1}||\phi(t_{k})-\phi(t_{k-1})||\\ <&m(m+1)\frac{\varepsilon}{2m(m+1)}=\frac{\varepsilon}{2} \end{aligned} 从而 k = 1 s + 1 ϕ ( t k ) ϕ ( t k 1 ) L k = 1 p + 1 ϕ ( t k ) ϕ ( t k 1 ) k = 1 s + 1 ϕ ( t k ) ϕ ( t k 1 ) + k = 1 p + 1 ϕ ( t k ) ϕ ( t k 1 ) L < ε \begin{aligned} &\left|\sum_{k=1}^{s+1}||\phi(t_{k})-\phi(t_{k-1})||-L\right|\\ \le&\left|\sum_{k=1}^{p+1}||\phi(t^\prime_{k})-\phi(t^\prime_{k-1})||-\sum_{k=1}^{s+1}||\phi(t_{k})-\phi(t_{k-1})||\right|\\ +&\left|\sum_{k=1}^{p+1}||\phi(t^\prime_{k})-\phi(t^\prime_{k-1})||-L\right|<\varepsilon \end{aligned} 所以 L = lim λ ( Δ ) 0 k = 1 n + 1 ϕ ( t k ) ϕ ( t k 1 ) L=\lim_{\lambda(\Delta)\to 0}\sum_{k=1}^{n+1}||\phi(t_k)-\phi(t_{k-1})|| spa

模仿定积分几何应用中 R 2 R^2 光滑曲线弧长的求法,能够证实 R n R^n 中的光滑曲线 γ : γ ( t ) , t [ a , b ] \gamma:\gamma(t),t\in[a,b] 都是可求长曲线,而且 L = a b γ ( t ) d t L=\int_a^b||\gamma^\prime(t)||dt 因而,若是连续曲线由有限段光滑曲线拼接而成,那么该连续曲线也是可求长曲线。3d

第一型曲线积分的物理背景及定义

对于 R 3 R^3 上的一条细钢丝 γ \gamma ,在其上定义了一个密度函数 ρ ( x , y , z ) \rho(x,y,z) ,怎么求其质量呢?若是钢丝是均匀的,那么其质量应该是 ρ . L ( γ ) \rho.L(\gamma) ,其中, ρ \rho 为钢丝的密度, L ( γ ) L(\gamma) 是钢丝的长度。若是钢丝不是均匀的,能够采起微元法:将钢丝分解为若干段小钢丝 γ 1 , , γ n \gamma_1,\cdots,\gamma_n ,只要每段钢丝的弧长足够小,若是 ρ \rho 是连续的,在每段小钢丝就能够近似地视为均匀的小钢丝,任取 ξ k γ k ( k = 1 , , n ) \xi_k\in \gamma_k(k=1,\cdots,n) ,则估计其质量为 m ( γ ) k = 1 n ρ ( ξ k ) L ( γ k ) m(\gamma)\approx\sum_{k=1}^n\rho(\xi_k)L(\gamma_k) 当钢丝越分越细时,偏差愈来愈小,则小钢丝的质量就为 m ( γ ) = lim λ ( Δ ) 0 k = 1 n ρ ( ξ k ) L ( γ k ) m(\gamma)=\lim_{\lambda(\Delta)\to 0}\sum_{k=1}^n\rho(\xi_k)L(\gamma_k) 其中, λ ( Δ ) = max 1 i n L ( γ k ) \displaystyle\lambda(\Delta)=\max_{1\le i\le n}L(\gamma_k) ,求解的思路和定积分是相同的,不一样的是如今是对曲线的积分。对以上物理背景进行抽象,就获得第一型曲线积分的定义。首先,若是 γ \gamma 是可求长曲线,则连续曲线 γ k γ \gamma_k\subseteq \gamma 也是可求长的,这由可求长曲线的定义是容易看出的1orm

定义17.3 γ \gamma R n R^n 上一段可求长曲线,起点和终点分别为 A , B A,B ρ ( x ) \rho(x) γ \gamma 上的函数,若是存在实数 I I ,对任意的 ε > 0 \varepsilon>0 ,存在 δ > 0 \delta>0 ,从 A A B B 任取 A = A 0 , A 1 , , A n , A n + 1 = B A=A_0,A_1,\cdots,A_n,A_{n+1}=B ,只要 λ = max 1 i n + 1 L ( A i 1 A i ) < δ \displaystyle\lambda=\max_{1\le i\le n+1}L(A_{i-1}A_i)<\delta ,任取 ξ k A k 1 A k ( k = 1 , , n + 1 ) \xi_k\in A_{k-1}A_k(k=1,\cdots,n+1) ,就有 k = 1 n + 1 ρ ( ξ k ) L ( A k 1 A k ) I < ε \left|\sum_{k=1}^{n+1}\rho(\xi_k)L(A_{k-1}A_k)-I\right|<\varepsilon 则称 ρ \rho γ \gamma 上可积, I I ρ \rho γ \gamma 上的第一型曲线积分,记为 γ f ( x ) d s \displaystyle\int_\gamma f(x)ds xml

第一型曲线积分和定积分、重积分同样,有线性性质,不等式性质,区间可加性。

定理17.2 γ \gamma R n R^n 上的可求长曲线, f 1 , f 2 f_1,f_2 γ \gamma 上可积,则对于任意的实数 α , β \alpha,\beta α f 1 + β f 2 \alpha f_1+\beta f_2 γ \gamma 上也可积,而且 γ ( α f 1 ( x ) + β f 2 ( x ) ) d s = α γ f 1 ( x ) d s + β γ f 2 ( x ) d s \int_\gamma (\alpha f_1(x)+\beta f_2(x))ds=\alpha\int_\gamma f_1(x)ds+\beta\int_\gamma f_2(x)ds

定理17.3 γ \gamma R n R^n 上的可求长曲线, f ( x ) = 1 , x γ f(x)=1,x\in \gamma R n R^n 上可积,而且 γ f ( x ) d s = L ( γ ) \int_\gamma f(x)ds = L(\gamma)

定理17.4 γ \gamma R n R^n 上的可求长曲线, f 1 , f 2 f_1,f_2 γ \gamma 上可积,而且 f 1 ( x ) f 2 ( x ) x γ f_1(x)\le f_2(x)\quad x\in \gamma ,则 γ f 1 ( x ) d s γ f 2 ( x ) d s \int_\gamma f_1(x)ds \le \int_\gamma f_2(x)ds

定理17.5 γ \gamma R n R^n 上的可求长曲线,起点和终点分别为 A , B A,B ,取一个分点 C C f f γ \gamma 上可积,则 f f A C AC 段和 C B CB 段均可积,而且 γ f ( x ) d s = A C f ( x ) d s + C B f ( x ) d s \int_{\gamma}f(x)ds=\int_{AC}f(x)ds+\int_{CB}f(x)ds

第一型曲线积分的计算公式

第一型曲线积分的计算也是经过定积分进行。

定理17.6 光滑曲线 γ : ϕ ( t ) , t [ a , b ] \gamma:\phi(t),t\in[a,b] ,设 ϕ ( t ) 0 \phi^\prime(t)\neq 0 f ( x ) f(x) γ \gamma 上连续,则 f ( x ) f(x) γ \gamma 上可积,而且 γ f ( x ) d s = a b f ( ϕ ( t ) ) ϕ ( t ) d t \int_\gamma f(x)ds=\int_a^b f(\phi(t))||\phi^\prime(t)||dt

证:
S ( x 1 , x 2 ) = x 1 x 2 ϕ ( t ) d t \displaystyle S(x_1,x_2)=\int_{x_1}^{x_2}||\phi^\prime(t)||dt ,则设 m = min t [ a , b ] ϕ ( t ) , M = max t [ a , b ] ϕ ( t ) \displaystyle m=\min_{t\in[a,b]}||\phi^\prime(t)||,M=\max_{t\in[a,b]}||\phi^\prime(t)|| ,有 m > 0 m>0 2,所以 m ( x 2 x 1 ) S ( x 1 , x 2 ) M ( x 2 x 1 ) m(x_2-x_1)\le S(x_1,x_2)\le M(x_2-x_1) Δ : a = t 0 < t 1 < < t n = b \Delta:a=t_0<t_1<\cdots<t_n=b ,对应 γ \gamma 的分划 Δ : A 0 = ϕ ( a ) , A 1 = ϕ ( t 1 ) , , A n = ϕ ( t n ) = B \Delta^\prime: A_0=\phi(a),A_1=\phi(t_1),\cdots,A_n=\phi(t_n)=B ,由上式能够看出, λ ( Δ ) 0 \lambda(\Delta^\prime)\to 0 的充要条件是 λ ( Δ ) 0 \lambda(\Delta)\to 0 3。对任意的分划 Δ : a = t 0 < < t n = b \Delta:a=t_0<\cdots<t_n=b ,任取 ξ k [ t k 1 , t k ] ( k = 1 , , n ) \xi_k\in[t_{k-1},t_k](k=1,\cdots,n) ,由积分中值定理,存在 ζ k [ t k 1 , t k ] ( k = 1 , , n ) \zeta_k\in[t_{k-1},t_k](k=1,\cdots,n) ,有 k = 1 n f ( ξ k ) [ S ( t k ) S ( t k 1 ) ] = k = 1 n f ( ξ k ) t k 1 t k ϕ ( t ) d t = k = 1 n f ( ξ k ) ϕ ( ζ k ) Δ t k \begin{aligned} &\sum_{k=1}^nf(\xi_k)[S(t_k)-S(t_{k-1})]=\sum_{k=1}^nf(\xi_k)\int_{t_{k-1}}^{t_k}||\phi^\prime(t)||dt\\ =&\sum_{k=1}^nf(\xi_k)||\phi^\prime(\zeta_k)||\Delta t_k \end{aligned} ε > 0 \forall \varepsilon>0 ,设 M = max t [ a , b ] f ( ϕ ( t ) ) \displaystyle M=\max_{t\in[a,b]}|f(\phi(t))| ,因为 ϕ ( t ) ||\phi^\prime(t)|| [ a , b ] [a,b] 上一致连续,存在 δ 1 > 0 \delta_1>0 ,对任意的 x 1 , x 2 [ a , b ] x_1,x_2\in[a,b] ,只要 x 1 x 2 < δ 1 |x_1-x_2|<\delta_1 ,就有 ϕ ( x 1 ) ϕ ( x 2 ) < ε 2 M ( b a ) \left|||\phi^\prime(x_1)||-||\phi^\prime(x_2)||\right|<\frac{\varepsilon}{2M(b-a)} I = a b f ( ϕ ( t ) ) ϕ ( t ) d t \displaystyle I=\int_a^bf(\phi(t))||\phi^\prime(t)||dt ,存在 δ 2 > 0 \delta_2>0 ,就有 k = 1 n f ( ϕ ( ξ k ) ) ϕ ( ξ k ) Δ t k I < ε 2 \left|\sum_{k=1}^nf(\phi(\xi_k))||\phi^\prime(\xi_k)||\Delta t_k-I\right|<\frac{\varepsilon}{2} 只要 λ ( Δ ) < δ 0 = min ( δ 1 , δ 2 ) \lambda(\Delta)<\delta_0=\min(\delta_1,\delta_2) ,就有 k = 1 n f ( ϕ ( ξ k ) ) ϕ ( ξ k ) Δ t k k = 1 n f ( ϕ ( ξ k ) ) ϕ ( ζ k ) Δ t k k = 1 n f ( ϕ ( ξ k ) ) ϕ ( ξ k ) ϕ ( ζ k ) Δ t k M ( b a ) ε 2 M ( b a ) = ε 2 \begin{aligned} &\left|\sum_{k=1}^nf(\phi(\xi_k))||\phi^\prime(\xi_k)||\Delta t_k-\sum_{k=1}^nf(\phi(\xi_k))||\phi^\prime(\zeta_k)||\Delta t_k\right|\\ \le&\sum_{k=1}^n|f(\phi(\xi_k))||||\phi^\prime(\xi_k)||-||\phi^\prime(\zeta_k)|||\Delta t_k\\ \le&M(b-a)\frac{\varepsilon}{2M(b-a)}=\frac{\varepsilon}{2} \end{aligned} k = 1 n f ( ϕ ( ξ k ) ) ϕ ( ζ k ) Δ t k I k = 1 n f ( ϕ ( ξ k ) ) ϕ ( ξ k ) Δ t k I + k = 1 n f ( ϕ ( ξ k ) ) ϕ ( ξ k ) Δ t k k = 1 n f ( ϕ ( ξ k ) ) ϕ ( ζ k ) Δ t k < ε \begin{aligned} &\left|\sum_{k=1}^nf(\phi(\xi_k))||\phi^\prime(\zeta_k)||\Delta t_k-I\right|\\ \le&\left|\sum_{k=1}^nf(\phi(\xi_k))||\phi^\prime(\xi_k)||\Delta t_k-I\right|+\\&\left|\sum_{k=1}^nf(\phi(\xi_k))||\phi^\prime(\xi_k)||\Delta t_k-\sum_{k=1}^nf(\phi(\xi_k))||\phi^\prime(\zeta_k)||\Delta t_k\right|\\ <&\varepsilon \end{aligned} 所以 f ( x ) f(x) γ \gamma 上可积,而且 γ f ( x ) d s = a b f ( ϕ ( t ) ) ϕ ( t ) d t \int_\gamma f(x)ds=\int_a^b f(\phi(t))||\phi^\prime(t)||dt

由第一型曲线积分的区间可加性,咱们就能够计算逐段光滑的曲线上的曲线积分。计算第一型曲线积分的第一步,首先是要写出曲线的参数方程,而后再套用以上公式便可。

例17.1 计算 γ ( x 4 3 + y 4 3 ) d s \displaystyle \int_\gamma(x^{\frac{4}{3}}+y^{\frac{4}{3}})ds ,其中 γ \gamma 为曲线 x 2 3 + y 2 3 = a 2 3 ( a > 0 ) x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=a^{\frac{2}{3}}(a>0)

解:
γ \gamma 写成参数方程形式 { x = a cos 3 t y = a sin 3 t \begin{cases} x=a\cos^3t\\ y=a\sin^3t \end{cases} 其中 t [ π , π ] t\in[-\pi,\pi] { x = 3 a sin t cos 2 t y = 3 a cos t sin 2 t \begin{cases} x^\prime=-3a\sin t\cos^2t\\ y^\prime=3a\cos t\sin^2t \end{cases} x 2 + y 2 = 3 a sin t cos t \sqrt{x^{\prime2}+y^{\prime2}}=3a|\sin t\cos t| γ ( x 4 3 + y 4 3 ) d s = π π a 4 3 ( sin 4 t + cos 4 t ) ( 3 a sin t cos t ) d t = 3 a 7 3 π π ( sin 4 t + cos 4 t ) sin t cos t d t = 4 a 7 3 \begin{aligned} &\int_\gamma(x^{\frac{4}{3}}+y^{\frac{4}{3}})ds=\int_{-\pi}^\pi{a^{\frac{4}{3}}}(\sin^4t+\cos^4t)(3a|\sin t\cos t|)dt\\ =&3a^{\frac{7}{3}}\int_{-\pi}^\pi(\sin^4t+\cos^4t)|\sin t\cos t|dt =4a^{\frac{7}{3}} \end{aligned}

例17.2 L x y d s \displaystyle \int_Lxyds ,其中 L L 为球面 x 2 + y 2 + z 2 = a 2 x^2+y^2+z^2=a^2 与平面 x + y + z = 0 x+y+z=0 的交线

解:
为了写出 L L 的参数方程,咱们首先要求出 L L O x y Oxy 平面上的投影,联立 { x 2 + y 2 + z 2 = a 2 x + y + z = 0 \begin{cases} x^2+y^2+z^2=a^2\\ x+y+z=0 \end{cases} 消去 z z ,获得 x 2 + y 2 + ( x y ) 2 = 2 x 2 + 2 x y + 2 y 2 = a 2 x^2+y^2+(-x-y)^2=2x^2+2xy+2y^2=a^2 经过配方,获得 2 ( x + y 2 ) 2 + 3 2 y 2 = a 2 2(x+\frac{y}{2})^2+\frac{3}{2}y^2=a^2 经过变数替换后投影能够变换为椭圆,不管如何,从以上方程咱们能够令 { x + y 2 = 2 2 a cos t y = 2 3 a sin t z = x y \begin{cases} x+\frac{y}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}a\cos t\\ y=\sqrt{\frac{2}{3}}a\sin t\\ z=-x-y \end{cases} 由此就能够获得 L L 的参数方程 { x = 2 2 a cos t 6 6 a sin t y = 6 3 a sin t z = 2 2 a cos t 6 6 a sin t \begin{cases} x=\frac{\sqrt{2}}{2}a\cos t-\frac{\sqrt{6}}{6}a\sin t\\ y=\frac{\sqrt{6}}{3}a\sin t\\ z=-\frac{\sqrt{2}}{2}a\cos t-\frac{\sqrt{6}}{6}a\sin t \end{cases} 其中 t [ π , π ] t\in [-\pi,\pi] ,则 x 2 + y 2 + z 2 = a \sqrt{x^{\prime2}+y^{\prime2}+z^{\prime2}}=a 从而 L x y d s = a π π ( 2 2 a cos t 6 6 a sin t ) ( 6 3 a sin t ) d t = a 3 3 π π sin 2 t d t = a 3 π 3 \begin{aligned} \int_Lxyds=&a\int_{-\pi}^\pi(\frac{\sqrt{2}}{2}a\cos t-\frac{\sqrt{6}}{6}a\sin t)(\frac{\sqrt{6}}{3}a\sin t)dt\\ =&-\frac{a^3}{3}\int_{-\pi}^\pi \sin^2tdt=-\frac{a^3\pi}{3} \end{aligned}

例17.3 计算 L ( x y + x z + y z ) d s \displaystyle \int_L(xy+xz+yz)ds L L 同例17.2

解:
注意到 L L x , y , z x,y,z 的地位是相同,好比,求解 L x z d s \displaystyle \int_Lxzds ,将参数方程写成 { x = 2 2 a cos t 6 6 a sin t z = 6 3 a sin t y = 2 2 a cos t 6 6 a sin t \begin{cases} x=\frac{\sqrt{2}}{2}a\cos t-\frac{\sqrt{6}}{6}a\sin t\\ z=\frac{\sqrt{6}}{3}a\sin t\\ y=-\frac{\sqrt{2}}{2}a\cos t-\frac{\sqrt{6}}{6}a\sin t \end{cases} 再代入就能够获得 L x z d s = a 3 π 3 \displaystyle \int_Lxzds=-\frac{a^3\pi}{3} ,从而 L ( x y + x z + y z ) d s = a 3 π \int_L(xy+xz+yz)ds=-a^3\pi

例17.4 计算 L 2 y 2 + z 2 d s \displaystyle \int_L\sqrt{2y^2+z^2}ds ,其中 L L x 2 + y 2 + z 2 = a 2 ( a > 0 ) x^2+y^2+z^2=a^2(a>0) x = y x=y 的交线

解:
L L 上,有 2 y 2 + z 2 = a 2 2y^2+z^2=a^2 ,有 L 2 y 2 + z 2 d s = a 2 L d s = π a 2 \int_L\sqrt{2y^2+z^2}ds=a^2\int_Lds=\pi a^2

第一型曲面积分

第一型曲面积分的物理背景及定义

同第一型曲面积分的物理背景相似,第一型曲面积分的物理背景是空间曲面的质量。若是 S S 是可求面积的均匀的空间曲面,设其密度为 ρ \rho ,那么 S S 的质量为 ρ S \rho|S| ,其中 S |S| S S 的面积。但若是 S S 不是均匀的空间区间,在 S S 上定义了密度函数 ρ ( x , y , z ) \rho(x,y,z) ,能够将 S S 划分为可求面积的小区面块 S 1 , , S n S_1,\cdots,S_n ,只要 max 1 i n d i a m ( S i ) \displaystyle\max_{1\le i \le n}diam(S_i) 足够小,由一致连续性, S 1 , , S n S_1,\cdots,S_n 均可以视为均匀曲面,任取 ξ k S k ( k = 1 , , n ) \xi_k\in S_k(k=1,\cdots,n) ,则估计其质量为 m ( S ) k = 1 n ρ ( ξ k ) S k \displaystyle m(S)\approx\sum_{k=1}^n\rho(\xi_k)|S_k| ,当 max 1 i n d i a m ( S i ) 0 \displaystyle\max_{1\le i \le n}diam(S_i)\to 0 时,若是该和数有极限,则该极限为 S S 的质量。

定义17.4 S S 是一张可求面积的曲面,将 S S 分割为可求面积的小曲面块 S 1 , , S n S_1,\cdots,S_n ,记该分划为 Δ \Delta ,定义 λ ( Δ ) = max 1 i n d i a m ( S i ) \lambda(\Delta)=\max_{1\le i \le n}diam(S_i) f ( x ) f(x) S S 上的函数,若是存在实数 I I ,对任意的 ε > 0 \varepsilon>0 ,存在 δ > 0 \delta>0 ,对任意的分划 Δ : S 1 , , S n \Delta:S_1,\cdots,S_n ,只要 λ ( Δ ) < δ \lambda(\Delta)<\delta ,任取 ξ k S k ( k = 1 , , n ) \xi_k\in S_k(k=1,\cdots,n) ,都有 k = 1 n f ( ξ k ) S k I < ε \left|\sum_{k=1}^nf(\xi_k)|S_k|-I\right|<\varepsilon 则称 f f S S 上可积, I I 称为 f f S S 上的第一型曲面积分,记为 S f ( x ) d s \displaystyle \iint_S f(x)ds

一样能够写出曲面积分的性质:线性,不等式,可加性等,这与曲线积分比较相似。

第一型曲面积分的计算公式

关于第一型曲面积分的存在性,能够模仿定积分和重积分的可积性理论,创建起曲面积分的可积性理论,就能够证实以下命题:

命题17.1 f ( x , y , z ) f(x,y,z) 在光滑曲面 S S 上连续,则 f ( x , y , z ) f(x,y,z) S S 上可积

下面咱们给出第一型曲面积分的计算公式:

定理17.6 f ( x , y , z ) f(x,y,z) 在光滑曲面 { x = x ( u , v ) y = y ( u , v ) z = z ( u , v ) \begin{cases} x=x(u,v)\\ y=y(u,v)\\ z=z(u,v) \end{cases} 上连续,其中 ( u , v ) D (u,v)\in D D D 为可求面积的有界闭区域,其中 r u × r v 0 r_u^\prime\times r_v^\prime\neq 0 ,则 S f ( x , y , z ) d S = D f ( x ( u , v ) , y ( u , v ) , z ( u , v ) ) r u × r v d u d v \iint_S f(x,y,z)dS = \int_D f(x(u,v),y(u,v),z(u,v))||r_u^\prime\times r_v^\prime||dudv

该定理的证实和曲线积分的证实是相似的,须要用到重积分的积分中值定理,这里就再也不赘述了。下面给出第一型曲面积分的几个算例。

例17.5 (利用曲面方程化简被积函数) 求解曲面积分 S d S x 2 + y 2 \displaystyle \iint_S \frac{dS}{x^2+y^2} ,其中 S S 为柱面 x 2 + y 2 = R 2 x^2+y^2=R^2 被平面 z = 0 z=0 z = H z=H 所截的部分

解:
由曲面方程为 x 2 + y 2 = R 2 x^2+y^2=R^2 ,获得 S d S x 2 + y 2 = 1 R 2 S d S = 2 R H π R 2 = 2 H π R \iint_S\frac{dS}{x^2+y^2}=\frac{1}{R^2}\iint_S dS=\frac{2RH\pi}{R^2}=\frac{2H\pi}{R}

例17.6 求解曲面积分 S z 2 d S \displaystyle \iint_S z^2 dS ,其中 S S x = u cos v , y = u sin v , z = v ( 0 u a , 0 v 2 π ) x=u\cos v,y=u\sin v,z= v(0\le u\le a,0\le v\le 2\pi)

解:
r u = ( cos v , sin v , 0 ) , r v = ( u sin v , u cos v , 1 ) r_u^\prime=(\cos v,\sin v,0),r_v^\prime=(-u\sin v,u\cos v,1) ,则曲面积分化为重积分为4 z 2 d S = [ 0 , a ] × [ 0 , 2 π ] v 2 u 2 + 1 d u d v = 4 π 3 3 ( ln ( a + 1 + a 2 ) + a 1 + a 2 ) \begin{aligned} \iint z^2dS=&\iint_{[0,a]\times[0,2\pi]}v^2\sqrt{u^2+1}dudv\\=&\frac{4\pi^3}{3}(\ln(a+\sqrt{1+a^2})+a\sqrt{1+a^2}) \end{aligned}

例17.7 (求解曲面积分时注意完整考虑整个曲面,不要遗漏某一两面)求解第一型曲面积分 S x 2 + y 2 d S \displaystyle \iint_S x^2+y^2 dS ,其中 S S 为立体 x 2 + y 2 z 1 \sqrt{x^2+y^2}\le z\le 1 的边界曲面

解:
须要注意的是,这个立体是一个倒圆锥,有一个底面和一个侧面,不要遗漏掉底面。设底面为 S 1 S_1 ,侧面为 S 2 S_2 ,则 S 1 : z = 1 , x 2 + y 2 1 S_1:z=1,x^2+y^2\le 1 ,从而 S 1 x 2 + y 2 d S = x 2 + y 2 1 x 2 + y 2 d S = 0 2 π d θ 0 1 r 3 d r = π 2 \begin{aligned} &\iint_{S_1} x^2+y^2 dS=\iint_{x^2+y^2\le 1}x^2+y^2 dS\\ =&\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^1r^3dr=\frac{\pi}{2} \end{aligned} 侧面写成参数方程形式为 { x = r cos θ y = r sin θ z = r \begin{cases} x=r\cos\theta\\ y=r\sin\theta\\ z=r \end{cases} 取值范围为 0 r 1 , 0 θ 2 π 0\le r\le 1,0\le \theta\le 2\pi ,此时 A 2 + B 2 + C 2 = 2 r \sqrt{A^2+B^2+C^2}=\sqrt{2}r ,则将曲面积分化为重积分即为 S 2 x 2 + y 2 d S = 2 0 2 π d θ 0 1 r 3 d r = 2 π 2 \iint_{S_2} x^2+y^2 dS=\sqrt{2}\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^1 r^3dr=\frac{\sqrt{2}\pi}{2} S x 2 + y 2 d S = S 1 x 2 + y 2 d S + S 2 x 2 + y 2 d S = ( 1 + 2 ) π 2 \iint_S x^2+y^2 dS=\iint_{S_1} x^2+y^2 dS+\iint_{S_2} x^2+y^2 dS=\frac{(1+\sqrt{2})\pi}{2}

第二型曲线积分与曲面积分

第二型曲线积分

第二型曲线积分的物理背景及定义

第二型曲线积分的物理背景是变力作功。
在这里插入图片描述
如上图,若是在牵引力 F F 的做用下,箱子移动的位移 s s ,则在力学中,力 F F 对箱子所做的功为 F . s F.s ,这是恒力对一个质点的做用。若是是变力,该如何求解力对质点所做的功呢。假设在平面上有一个力场 F ( x , y ) = ( P ( x , y ) , Q ( x , y ) ) F(x,y)=(P(x,y),Q(x,y)) ,在力的做用下,质点的运动轨迹为 s s ( t ) = ( x ( t ) , y ( t ) ) , t [ α , β ] s:s(t)=(x(t),y(t)),t\in[\alpha,\beta] ,这里假设运动轨迹是光滑的。则咱们能够将运动曲线划分为 n n 段小曲线 s 1 , , s n s_1,\cdots,s_n ,每段运动均可以视为恒力作功,任取 ( ξ k , ζ k ) s k (\xi_k,\zeta_k)\in s_k ,在该段发生的位移为 Δ s k \Delta s_k ,则估计该力所作的功为 W k = 1 n F ( ξ k , ζ k ) . Δ s k W\approx \sum_{k=1}^nF(\xi_k,\zeta_k).\Delta s_k 当曲线段最大直径趋于0时,若是以上和式右极限,即为力场对质点所做的功。将以上物理背景进行抽象,就获得第二型曲线积分。

定义17.5 L L R n R^n 上的连续曲线,起点为 A A ,终点为 B B F ( x )