AcWing 1371. 货币系统 【彻底背包求方案数】 c++详细题解

2021年09月15日 阅读数:1
这篇文章主要向大家介绍AcWing 1371. 货币系统 【彻底背包求方案数】 c++详细题解,主要内容包括基础应用、实用技巧、原理机制等方面,希望对大家有所帮助。

题目

给定 V 种不一样面值的货币(单位:元),每种货币使用的次数不限。ios

如今,要你用这 V 种货币凑出 N 元钱,请问共有多少种不一样的凑法。优化

输入格式
第一行包含两个整数 V 和 N。
spa

接下来的若干行,将一共输出 V 个整数,每一个整数表示一种货币的面值。code

输出格式
输出一个整数,表示所求总方案数。
blog

数据范围图片

1≤V≤25,
1≤N≤10000
ci

输入样例:io

3 10
1 2 5
class

输出样例:stream

10

二维DP

闫氏DP分析法:


在这里插入图片描述

状态表示: f[i][j] 表示 从前i种货币中选,且总价值刚好为j的全部选法集合的方案数。

那么f[n][m]就表示表示 从前n种货币中选,且总价值刚好为m的全部选法集合的方案数,即为答案。

集合划分:

按照第i种货币能够选 0个,1个,2个,3个,,,,k个划分集合 f[i][j]。其中k*w[i] <= j,也就是说在背包能装下的状况下,枚举第i种货币能够选择几个。

状态计算:

f[i][j] = f[i-1][j]+f[i-1][j-w[i]]+f[i-1][j-2*w[i]],,,,,,+f[i-1][j-k*w[i]] .

ac代码

#include<iostream>
#include<cstdio>

using namespace std;
const int N = 30,M = 1e4 +10;
long long  f[N][M]; // 方案数很大使用long long 来存
int w[N];
int main()
{
   
    
    int n,m;
    cin>>n>>m;
    for(int i = 1; i <= n; i++) cin>>w[i];
    
    f[0][0] = 1; // 使用0种货币,凑0元钱,也是一种方案
    
    for(int i = 1; i <= n; i++)
      for(int j = 0; j <= m; j++)
      {
   
    
          for(int k = 0; k*w[i] <= j; k++)
            f[i][j] += f[i-1][j-k*w[i]];
      }      
    cout<<f[n][m]<<endl;
    return 0;
}

一维DP


考虑优化

v表明第i件物品的体积

f[i][j] = f[i-1][j] + f[i-1][j-v]+f[i-1][j-2v]+,,,,,+f[i-1][j-kv])

f[i][j-v] = f[i-1,[j-v]+f[i-1][j-2v]+,,,,,+f[i-1][j-kv])
所以:

f[i][j] = f[i-1][j]+f[i][j-v])

图示:
在这里插入图片描述
去掉一维:

状态计算为: f[j] = f[j] + f[j-v]

ac代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
const int N = 1e4 + 10;
long long f[N];
int main()
{
   
     
    int m,n;
    cin>>n>>m;
    f[0] = 1;  //初始化 f[0][0] = 1 
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
   
     
        int v;
        cin>>v;
        for(int j = v; j <= m; j++)
          f[j] += f[j-v];   // 状态计算方程
    }
    cout<<f[m]<<endl;
    return 0;
}