数学分析笔记7:定积分

2020年06月05日 阅读数:135
这篇文章主要向大家介绍数学分析笔记7:定积分,主要内容包括基础应用、实用技巧、原理机制等方面,希望对大家有所帮助。

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定积分的定义与性质

定积分的定义

定积分的概念来源于求和运算的连续化,咱们目前已知的求和手段都是有限求和,为了将求和运算扩充到无限个数求和,必须引入极限手段。扩充手段有两种——可列情形对应的是级数理论,不可列情形对应的则是积分。但咱们都要首先清楚,本节所讨论的本质,就是无穷情形下的“求和”运算。
定义7.1 f ( x ) f(x) 是定义在闭区间 [ a , b ] [a,b] 的函数, x 0 , x 1 , , x n x_0,x_1,\cdots,x_n 知足: a = x 0 < x 1 < < x n = b a=x_0<x_1<\cdots<x_n=b ,集合 { x 0 , x 1 , , x n } \{x_0,x_1,\cdots,x_n\} 称为 [ a , b ] [a,b] 的一个分划,记为 Δ \Delta
对每一个小区间: [ x i 1 , x i ] ( i = 1 , , n ) [x_{i-1},x_i](i=1,\cdots,n) ,取 ξ i [ x i 1 , x i ] ( i = 1 , , n ) \xi_i\in[x_{i-1},x_i](i=1,\cdots,n) ,和式: i = 1 n f ( ξ i ) ( x i x i 1 ) \sum_{i=1}^{n}{f(\xi_i)(x_i-x_{i-1})} 称为 f ( x ) f(x) 在分划 Δ \Delta 下的一个Riemann和,记为 S ( Δ , f ) S(\Delta,f)
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Riemann和有鲜明的几何意义,见下图,为了求得曲线 y = f ( x ) y=f(x) [ a , b ] [a,b] 区间上的曲线段下的面积,咱们一般用有限矩体进行逼近。Riemann和的每一项对应一个矩形的面积,能够预见:当区间越分越细的时候,矩形面积和就逼近图形的真实面积,就是定积分的基本思想。
定义7.2 f ( x ) f(x) 是定义在闭区间 [ a , b ] [a,b] 的函数, Δ = { x 0 , x 1 , , x n } \Delta = \{x_0,x_1,\cdots,x_n\} [ a , b ] [a,b] 的任意分划,令 λ ( Δ ) = max 1 i n ( x i x i 1 ) \lambda(\Delta)=\max_{ 1\le i\le n}(x_{i}-x_{i-1}) ,若是存在实数 I I ,对任意的 ε > 0 \varepsilon>0 ,存在 δ > 0 \delta>0 ,当 λ ( Δ ) < δ \lambda(\Delta)<\delta 时,不管小区间内点如何选取,都有 S ( Δ , f ) A < ε |S(\Delta,f)-A|<\varepsilon 则称 f ( x ) f(x) 在闭区间 [ a , b ] [a,b] 上Riemann可积,简称可积, I I 称为 f ( x ) f(x) 在闭区间 [ a , b ] [a,b] 上的积分,记为 a b f ( x ) d x = I \int_a^b{f(x)dx}=I
定积分的几何意义就是区间 y = f ( x ) y=f(x) x x 轴,连同 x = a x=a x = b x=b 围成图形的面积。web

定积分的可积性理论——达布理论

下一个问题是:知足什么条件下, f ( x ) f(x) 在闭区间 [ a , b ] [a,b] 是可积的?咱们先从连续函数入手。
定理7.1 闭区间 [ a , b ] [a,b] 上的连续函数都是Riemann可积的app

证:
为了证实闭区间 [ a , b ] [a,b] 上的连续函数 f ( x ) f(x) 都是Riemann可积的,咱们首先要找到一个实数 I I ,也就是 f ( x ) f(x) 的积分值,其次,再证实 f ( x ) f(x) 的积分就是 I I
第一步:找一个实数 I I
先取一个分划列 Δ n = { x 0 ( n ) , x 1 ( n ) , , x 2 n ( n ) } \Delta_n=\{x^{(n)}_0,x^{(n)}_1,\cdots,x^{(n)}_{2^n}\} ,其中 x k ( n ) = a + k 2 n ( b a ) x^{(n)}_k=a+\frac{k}{2^n}(b-a) ,令区间 I k ( n ) = [ x k 1 ( n ) , x k ( n ) ] I^{(n)}_k = [x^{(n)}_{k-1},x^{(n)}_k] k = 1 , , 2 n k=1,\cdots,2^n n = 1 , 2 , n=1,2,\cdots 。那么 Δ n \Delta_n Δ n 1 \Delta_{n-1} 的加细(即 Δ n Δ n 1 \Delta_n\subset\Delta_{n-1} ),再令 M k ( n ) = max x I k ( n ) ( f ( x ) ) M_k^{(n)} = \max_{x\in I_k^{(n)}}(f(x)) , m k ( n ) = min x I k ( n ) ( f ( x ) ) m_k^{(n)} = \min_{x\in I_k^{(n)}}(f(x)) ,做和式 S ( Δ n ) = k = 0 2 n M k ( n ) b a 2 n \overline{S}(\Delta_{n}) = \sum_{k=0}^{2^n}{M_k^{(n)}\frac{b-a}{2^n}} S ( Δ n ) = k = 0 2 n m k ( n ) b a 2 n \underline{S}(\Delta_{n}) = \sum_{k=0}^{2^n}{m_k^{(n)}\frac{b-a}{2^n}} S ( Δ n ) \overline{S}(\Delta_{n}) 是单调降低的, S ( Δ n ) \underline{S}(\Delta_{n}) 是单调上升。令 I = lim n S ( Δ n ) \overline{I} = \lim_{n\to\infty}{\overline{S}(\Delta_{n})} I = lim n S ( Δ n ) \underline{I} = \lim_{n\to\infty}{\underline{S}(\Delta_{n})} S ( Δ n ) S ( Δ n ) = b a 2 n k = 0 ( M k ( n ) m k ( n ) ) \overline{S}(\Delta_{n})-\underline{S}(\Delta_{n}) =\frac{b-a}{2^n}\sum_{k=0}{(M_k^{(n)}-m_k^{(n)})} f ( x ) f(x) [ a , b ] [a,b] 上连续, f ( x ) f(x) [ a , b ] [a,b] 上一致连续,对任意的 ε > 0 \varepsilon>0 ,存在 δ > 0 \delta>0 ,对任意的 [ a , b ] [a,b] 内两点 x 1 , x 2 x_1,x_2
,只要 x 1 x 2 < δ |x_1-x_2|<\delta ,就有 f ( x 1 ) f ( x 2 ) < ε b a |f(x_1)-f(x_2)|<\frac{\varepsilon}{b-a} 再由连续性 f ( x ) f(x) [ a , b ] [a,b] 上可取得最大值和最小值。这样,只要 b a 2 n < δ \frac{b-a}{2^n}<\delta 就有 ( M k ( n ) m k ( n ) ) < ε b a (M_k^{(n)}-m_k^{(n)})<\frac{\varepsilon}{b-a} S ( Δ n ) S ( Δ n ) < ε \overline{S}(\Delta_{n})-\underline{S}(\Delta_{n})<\varepsilon I = I = I I=\overline{I}=\underline{I}
第二步,证实: a b f ( x ) d x = I \int_a^b{f(x)dx}=I
对任意的分划 Δ \Delta ,令 Δ n = Δ n Δ \Delta^\prime_n = \Delta_n \cup \Delta ,再令 Δ n = { y 0 ( n ) , y 1 ( n ) , , y k n ( n ) } \Delta^\prime_n = \{y_0^{(n)},y_1^{(n)},\cdots,y_{k_n}^{(n)}\} ,其中 a = y 0 ( n ) < y 1 ( n ) < < y k n ( n ) = b a=y_0^{(n)}<y_1^{(n)}<\cdots<y_{k_n}^{(n)}=b ,任取一个Riemann和 S ( Δ , f ) S(\Delta,f) ,设 ξ k ( n ) \xi_k^{(n)} 是区间 [ y k 1 ( n ) , y k ( n ) ] [y_{k-1}^{(n)},y_k^{(n)}] Δ \Delta 中对应的分划中, f ( x ) f(x) 的取点。 M k ( n ) , m k ( n ) M_k^{'\prime(n)},m_k^{\prime(n)} f ( x ) f(x) 在区间 [ y k 1 ( n ) , y k ( n ) ] [y_{k-1}^{(n)},y_k^{(n)}] 的最大值和最小值。
同时令 S ( Δ n ) = i = 0 k n M k ( n ) ( y k ( n ) y k 1 ( n ) ) \overline{S}(\Delta^\prime_n) = \sum_{i=0}^{k_n} {M_k^{\prime(n)}(y_k^{(n)}-y_{k-1}^{(n)})} S ( Δ n ) = i = 0 k n m k ( n ) ( y k ( n ) y k 1 ( n ) ) \underline{S}(\Delta^\prime_n) = \sum_{i=0}^{k_n} {m_k^{\prime(n)}(y_k^{(n)}-y_{k-1}^{(n)})} 因为 Δ n \Delta^\prime_n Δ n \Delta_n 的加细,就有 S ( Δ n ) S ( Δ n ) S ( Δ n ) S ( Δ n ) \underline{S}(\Delta_n)\le\underline{S}(\Delta^\prime_n) \le\overline{S}(\Delta^\prime_n)\le\overline{S}(\Delta_n) 由夹逼准则,就有 lim n S ( Δ n ) = lim n S ( Δ n ) = I \lim_{n\to\infty}{\overline{S}(\Delta^\prime_n)} =\lim_{n\to\infty}{\underline{S}(\Delta^\prime_n)} =I 对任意的 ε > 0 \varepsilon>0 ,存在 N N n N n\ge N 时,有 lim n S ( Δ n ) I < ε 2 |\lim_{n\to\infty}{\overline{S}(\Delta^\prime_n)}-I|< \frac{\varepsilon}{2} 取定一个 n n ,又由一致连续性,存在 δ > 0 \delta>0 ,当 x 1 x 2 < δ |x_1-x_2|<\delta 时, f ( x 1 ) f ( x 2 ) < ε 2 ( b a ) |f(x_1)-f(x_2)<\frac{\varepsilon}{2(b-a)} ,这样,当 λ ( Δ ) < δ \lambda(\Delta)<\delta 时, ξ k ( n ) M k ( n ) < ε 2 ( b a ) |\xi_k^{(n)}-M_k^{\prime(n)}|< \frac{\varepsilon}{2(b-a)} ,因而 S ( Δ , f ) S ( Δ n ) < ε 2 |S(\Delta,f)-\overline{S}(\Delta^\prime_n)|<\frac{\varepsilon}{2} S ( Δ , f ) I S ( Δ , f ) S ( Δ n ) + ξ k ( n ) M k ( n ) < ε |S(\Delta,f)-I|\le |S(\Delta,f)-\overline{S}(\Delta^\prime_n)| +|\xi_k^{(n)}-M_k^{\prime(n)}| < \varepsilon ide

从正面过程能够知道,一致连续性对可积性来讲是十分重要的一个性质。
对通常的函数,在每一个小区间上不必定能取到最大值和最小值。然而,咱们依然能够仿照以上证实过程,给出一个上和和下和的概念。
定义7.3 f ( x ) f(x) 是闭区间 [ a , b ] [a,b] 的一个有界函数, Δ = { x 0 , x 1 , , x n } \Delta=\{x_0,x_1,\cdots,x_n\} [ a , b ] [a,b] 的一个分划, a = x 0 < x 1 < < x n = b a=x_0<x_1<\cdots<x_n=b M i = sup x i 1 < x < x i f ( x ) , m i = inf x i 1 < x < x i f ( x ) M_i = \sup_{x_{i-1}<x<x_i}{f(x)},m_i=\inf_{x_{i-1}<x<x_i}{f(x)} ,称和式 S ( Δ , f ) = i = 0 n M i ( x i x i 1 ) \overline{S}(\Delta,f) = \sum_{i=0}^n{M_i(x_i-x_{i-1})} f f [ a , b ] [a,b] 上的达布上和, S ( Δ , f ) = i = 0 n m i ( x i x i 1 ) \underline{S}(\Delta,f) = \sum_{i=0}^n{m_i(x_i-x_{i-1})} f f [ a , b ] [a,b] 上的达布下和svg

容易证实以下三条引理
引理7.1 f ( x ) f(x) 是闭区间 [ a , b ] [a,b] 的一个有界函数, Δ = { x 0 , x 1 , , x n } \Delta=\{x_0,x_1,\cdots,x_n\} [ a , b ] [a,b] 的一个分划, a = x 0 < x 1 < < x n = b a=x_0<x_1<\cdots<x_n=b S ( Δ , f ) \overline{S}(\Delta,f) 是一切 f f Δ \Delta 上的Riemann和的上确界, S ( Δ , f ) \underline{S}(\Delta,f) 是一切 f f Δ \Delta 上的Riemann和的下确界函数

引理7.2 f ( x ) f(x) 是闭区间 [ a , b ] [a,b] 的一个有界函数, Δ 1 , Δ 2 \Delta_1,\Delta_2 [ a , b ] [a,b] 的两个分划,而且, Δ 1 Δ 2 \Delta_1\subset\Delta_2 ,则 S ( Δ 1 ) S ( Δ 2 ) S ( Δ 2 ) S ( Δ 1 ) \underline{S}(\Delta_1)\le\underline{S}(\Delta_2) \le\overline{S}(\Delta_2)\le\overline{S}(\Delta_1) spa

引理7.3 f ( x ) f(x) 是闭区间 [ a , b ] [a,b] 的一个有界函数,则 f ( x ) f(x) 的任意达布下和不超过任意达布上和,即便他们对应不一样的分划3d

这样,一切达布上和有下界,一切达布上和有上界,那么达布上和有下确界,咱们记为 I \overline{I} ,达布下和有上确界,咱们记为 I \underline{I} ,而且 I I \underline{I}\le \overline{I} 。相似于连续函数可积性的证实过程,咱们猜测: I = I = I \underline{I}= \overline{I}=I 时, I I 就是 f ( x ) f(x) [ a , b ] [a,b] 上的积分。
定理7.2 有界函数 f ( x ) f(x) [ a , b ] [a,b] 上可积的充要条件是: lim λ ( Δ ) 0 [ S ( Δ , f ) S ( Δ , f ) ] = 0 \lim_{\lambda(\Delta)\to 0}{[ \overline{S}(\Delta,f)-\underline{S}(\Delta,f) ]}=0 orm

证:
必要性,若是 f ( x ) f(x) [ a , b ] [a,b] 上可积,设 I = a b f ( x ) d x I=\int_a^b{f(x)dx}
对任意的 ε > 0 \varepsilon>0 ,存在 δ > 0 \delta>0 ,对任意的分划 Δ \Delta ,当 λ ( Δ ) < δ \lambda(\Delta)<\delta 时,任意 S ( Δ , f ) S(\Delta,f) 都有: I ε < S ( Δ , f ) < I + ε I-\varepsilon < S(\Delta,f) < I+\varepsilon 由引理7.2 S ( Δ , f ) I + ε \overline{S}(\Delta,f)\le I+\varepsilon S ( Δ , f ) I ε \underline{S}(\Delta,f)\ge I-\varepsilon 就有 I ε S ( Δ , f ) I I S ( Δ , f ) I + ε I-\varepsilon \le \underline{S}(\Delta,f) \le \underline{I} \le \overline{I} \le \overline{S}(\Delta,f) \le I+\varepsilon 这样, S ( Δ , f ) S ( Δ , f ) 2 ε \overline{S}(\Delta,f)-\underline{S}(\Delta,f) \le 2\varepsilon 这就说明了, lim λ ( Δ ) 0 [ S ( Δ , f ) S ( Δ , f ) ] = 0 \lim_{\lambda(\Delta)\to 0}{[ \overline{S}(\Delta,f)-\underline{S}(\Delta,f) ]}=0 同时,由 ε \varepsilon 的任意性,还能够得出 I = I \overline{I}=\underline{I} 的结论
充分性,若是 lim λ ( Δ ) 0 [ S ( Δ , f ) S ( Δ , f ) ] = 0 \lim_{\lambda(\Delta)\to 0}{[ \overline{S}(\Delta,f)-\underline{S}(\Delta,f) ]}=0 由不等式: S ( Δ , f ) I I S ( Δ , f ) \underline{S}(\Delta,f) \le \underline{I} \le \overline{I} \le \overline{S}(\Delta,f) \le 能够得出结论: I = I \overline{I}=\underline{I}
I = I = I \overline{I}=\underline{I}=I ,对任意的分划 Δ \Delta ,就有 S ( Δ , f ) I S ( Δ , f ) \underline{S}(\Delta,f)\le I \le\overline{S}(\Delta,f) 对任意的Riemann和,都有 S ( Δ , f ) S ( Δ , f ) S ( Δ , f ) \underline{S}(\Delta,f)\le S(\Delta,f) \le \overline{S}(\Delta,f) 这样, 0 < S ( Δ , f ) I S ( Δ , f ) S ( Δ , f ) 0<|S(\Delta,f)-I|\le \overline{S}(\Delta,f)-\underline{S}(\Delta,f) 对任意的 ε > 0 \varepsilon>0 ,存在 δ > 0 \delta>0 λ ( Δ ) < δ \lambda(\Delta)<\delta 时,都有 S ( Δ , f ) S ( Δ , f ) < ε \overline{S}(\Delta,f)-\underline{S}(\Delta,f)<\varepsilon 这样,任意的 S ( Δ , f ) S(\Delta,f) 都有 S ( Δ , f ) I < ε |S(\Delta,f)-I|<\varepsilon 这就证实了 a b f ( x ) d x = I \int_a^b{f(x)dx}=I xml

从证实的过程也能够看出,若是可积时,必定有 I = I = a b f ( x ) d x \overline{I}=\underline{I}=\int_a^b{f(x)dx} 但上下积分相等能不能直接获得可积性呢?实际上,咱们由以下的达布定理。

定理7.3(达布定理) f ( x ) f(x) 是闭区间 [ a , b ] [a,b] 上的有界函数,则有 lim λ ( Δ ) 0 S ( Δ ) = I \lim_{\lambda(\Delta)\to 0 }{ \underline{S}(\Delta) = \underline{I} } lim λ ( Δ ) 0 S ( Δ ) = I \lim_{\lambda(\Delta)\to 0 }{ \overline{S}(\Delta) = \overline{I} }

由达布定理,就有以下推论:
推论7.1 f ( x ) f(x) [ a , b ] [a,b] 上的有界函数,则 f ( x ) f(x) [ a , b ] [a,b] 上Riemann可积的充要条件是 I = I \underline{I}=\overline{I}

下面咱们证实定理7.3:

证: 咱们仅证 lim λ ( Δ ) 0 S ( Δ ) = I \lim_{\lambda(\Delta)\to 0 }{ \overline{S}(\Delta) = \overline{I} } lim λ ( Δ ) 0 S ( Δ ) = I \lim_{\lambda(\Delta)\to 0 }{ \underline{S}(\Delta) = \underline{I} } 的证实是相似的。
对任意 ε > 0 \varepsilon>0 ,取由上积分的定义,存在分划列 { Δ 0 } \{\Delta_0\} ,知足 I S ( Δ 0 , f ) < I + ε 2 \overline{I}\le \overline{S}(\Delta_0,f) <\overline{I} +\frac{\varepsilon}{2} 对任意的分划 Δ \Delta ,令 Δ 0 = Δ 0 Δ \Delta^\prime_0=\Delta_0\cup\Delta ,就有
I S ( Δ 0 , f ) S ( Δ 0 , f ) < I + ε 2 \overline{I}\le \overline{S}(\Delta^\prime_0,f)\le \overline{S}(\Delta_0,f) < \overline{I} + \frac{\varepsilon}{2} 只要考察 S ( Δ , f ) S ( Δ 0 , f ) |\overline{S}(\Delta,f)-\overline{S}(\Delta^\prime_0,f)| 便可
实际上,对 Δ \Delta 的每个小区间,若是其中没有 Δ n \Delta_n 的分点, Δ \Delta Δ n \Delta^\prime_n 对应的项没有差距,差异就体如今插入了 Δ n \Delta_n 分点的小区间上。
不妨设 f ( x ) M > 0 |f(x)|\le M>0 ,若是某个小区间插入了一个分点,那么对应的上确界之差不超过 2 M 2M ,设 N N Δ n \Delta_n 的分点个数( N > 2 N>2 )。那么,若是 Δ \Delta 的某个区间彻底含在 Δ 0 \Delta_0 的某个区间内,那么, Δ 0 \Delta_0^\prime 内的某个区间与 Δ \Delta 的这个区间是相同的,不会对达布上和有影响,对达布上和有影响的只有插入了 Δ 0 \Delta_0 分点的区间,最多只有 N 2 N-2 Δ \Delta 的区间对达布上和影响,假设 Δ \Delta 的某个区间 [ x k 1 , x k ] [x_{k-1},x_k] 中插入了一个分点 c ( c ( x k 1 , x k ) ) c(c\in(x_{k-1},x_k)) ,设 f ( x ) f(x) [ x k 1 , c ] [x_{k-1},c] 上的上确界为 M 1 M_1 ,在 [ c , x k ] [c,x_k] 上上确界为 M 2 M_2 ,在 [ x k 1 , x k ] [x_{k-1},x_k] 的上确界为 M 0 M_0 ,从而 M 1 ( c x k 1 ) + M 2 ( x k c ) M 0 ( x k x k 1 ) 2 M ( x k x k 1 ) 2 M λ ( Δ ) \begin{aligned} &|M_1(c-x_{k-1})+M_2(x_k-c)-M_0(x_k-x_{k-1})|\le 2M(x_k-x_{k-1}) \\\le &2M\lambda(\Delta) \end{aligned} 从而 S ( Δ , f ) S ( Δ 0 , f ) 2 M ( N 2 ) λ ( Δ ) \begin{aligned} |\overline{S}(\Delta,f)-\overline{S}(\Delta_0^\prime,f)|\le 2M(N-2)\lambda(\Delta) \end{aligned} λ ( Δ ) < ε 4 M ( N 2 ) \displaystyle \lambda(\Delta)<\frac{\varepsilon}{4M(N-2)} S ( Δ , f ) I S ( Δ , f ) S ( Δ 0 , f ) + S ( Δ 0 , f ) I < ε \begin{aligned} &|\overline{S}(\Delta,f)-\overline{I}|\\ \le & |\overline{S}(\Delta,f)-\overline{S}(\Delta_0^\prime,f)|+|\overline{S}(\Delta_0^\prime,f)-\overline{I}|<\varepsilon \end{aligned} 所以 lim λ ( Δ ) 0 S ( Δ , f ) = I \displaystyle \lim_{\lambda(\Delta)\to 0}\overline{S}(\Delta,f)=\overline{I}

可积函数类

定积分的性质

下面,咱们来证实定积分的一些性质。
定理7.4(有界性) f ( x ) f(x) [ a , b ] [a,b] 上可积,那么 f ( x ) f(x) 就在 [ a , b ] [a,b] 上有界。

证:
a b f ( x ) d x = I \int_a^b{f(x)dx}=I ,反证法证实,若是 f ( x ) f(x) 无界,那么任取分划 Δ : a = x 0 < x 1 < < x n = b \Delta:a=x_0<x_1<\cdots<x_n=b ,必然有一个小区间无界,设就是 [ x 0 , x 1 ] [x_0,x_1]
能够取得 ξ n [ x 0 , x 1 ] \xi_n\in[x_0,x_1] ,使得 f ( ξ n ) > n |f(\xi_n)|>n ,这样,不管 λ ( Δ ) \lambda(\Delta) 有多小,均可以取得 ξ n [ x 0 , x 1 ] \xi_n\in[x_0,x_1] ,在其余区间的取法给定的条件下,Riemann和能够任意大,与可积矛盾

所以,对积分的讨论都是创建在有界函数上的。下面咱们还要证实以下的定理。
定理7.5 f ( x ) f(x) [ a , b ] [a,b] 上可积,则 f ( x ) |f(x)| [ a , b ] [a,b] 上可积

证:
这是由于对任意的 x 1 , x 2 [ a , b ] x_1,x_2\in[a,b] ,都有 f ( x 1 ) f ( x 2 ) f ( x 1 ) f ( x 2 ) ||f(x_1)|-|f(x_2)||\le|f(x_1)-f(x_2)| 对任意的分划 Δ : a = x 0 < x 1 < < x n = n \Delta:a=x_0<x_1<\cdots<x_n=n 0 S ( Δ , f ) S ( Δ , f ) S ( Δ , f ) S ( Δ , f ) 0\le\overline{S}(\Delta,|f|)-\underline{S}(\Delta,|f|) \le \overline{S}(\Delta,f)-\underline{S}(\Delta,f) λ ( Δ ) 0 \lambda(\Delta)\to 0 ,就有
lim λ ( Δ ) 0 S ( Δ , f ) S ( Δ , f ) = 0 \lim_{\lambda(\Delta)\to 0} { \overline{S}(\Delta,|f|)-\underline{S}(\Delta,|f|) } =0

相似地,能够证实:
定理7.6 f ( x ) f(x) [ a , b ] [a,b] 上可积,则 f ( x ) f(x) [ a , b ] [a,b] 的任意子区间可积
证实比较简单,这里就不写出具体的证实过程了。
下面,咱们就能够给出Riemann积分的一些性质。
定理7.7
(1)(线性性质) f ( x ) f(x) g ( x ) g(x) [ a , b ] [a,b] 上Riemann可积,则对任意的实数 c , d c,d c f ( x ) + d g ( x ) cf(x)+dg(x) [ a , b ] [a,b] 上Riemann可积,而且 a b c f ( x ) + d g ( x ) d x = c a b f ( x ) d x + d a b g ( x ) d x \int_a^b{cf(x)+dg(x)dx} =c\int_a^b{f(x)dx}+d\int_a^b{g(x)dx} (2)(不等式性质) f ( x ) f(x) g ( x ) g(x) [ a , b ] [a,b] 上Riemann可积,而且 f ( x ) g ( x ) , x [ a , b ] f(x)\le g(x) ,\forall x \in [a,b] ,则 a b f ( x ) d x a b g ( x ) d x \int_a^b{f(x)dx}\le \int_a^b{g(x)dx} (3)(绝对值性质) f ( x ) f(x) [ a , b ] [a,b] 上Riemann可积,则 a b f ( x ) d x a b f ( x ) d x |\int_a^b{f(x)dx}|\le\int_a^b{|f(x)|dx} (4)(区间可加性)对任意的 a < c < b a<c<b f ( x ) f(x) [ a , b ] [a,b] 上可积的充要条件是 f ( x ) f(x) [ a , c ] [a,c] [ c , b ] [c,b] 上均可积,而且 a c f ( x ) d x + c b f ( x ) d x = a b f ( x ) d x \int_a^c{f(x)dx} + \int_c^b{f(x)dx} =\int_a^b{f(x)dx}

证:
(1)对任意的分划 Δ : a = x 0 < x 1 < , x n = b \Delta:a=x_0<x_1<\cdots,x_n=b ,对任意的 ξ k [ x k 1 , x k ] ( k = 1 , , n ) \xi_k\in[x_{k-1},x_k](k=1,\cdots,n) ,有 k = 1 n [ c f ( ξ n ) + d g ( ξ n ) ( x k x k 1 ) ] c a b f ( x ) d x d a b g ( x ) d x c k = 1 n f ( ξ n ) ( x k x k 1 ) a b f ( x ) d x + d k = 1 n g ( ξ n ) ( x k x k 1 ) a b g ( x ) d x |\sum_{k=1}^{n}[cf(\xi_n)+dg(\xi_n)(x_{k}-x_{k-1})]-c\int_a^b{f(x)dx}-d\int_a^b{g(x)dx}|\le\\ |c||\sum_{k=1}^n{f(\xi_n)(x_k-x_{k-1})}-\int_a^b{f(x)dx}| +|d||\sum_{k=1}^n{g(\xi_n)(x_k-x_{k-1})}-\int_a^b{g(x)dx}| 对任意的 ε > 0 \varepsilon>0 ,存在 δ 1 > 0 \delta_1>0 λ ( Δ ) < δ 1 \lambda(\Delta)<\delta_1 时,有 k = 1 n f ( ξ n ) ( x k x k 1 ) a b f ( x ) d x < ε 2 c |\sum_{k=1}^n{f(\xi_n)(x_k-x_{k-1})}-\int_a^b{f(x)dx}|<\frac{\varepsilon}{2|c|} 又存在 δ 2 > 0 \delta_2>0 λ ( Δ ) < δ 2 \lambda(\Delta)<\delta_2 时,有 k = 1 n g ( ξ n ) ( x k x k 1 ) a b g ( x ) d x < ε 2 d |\sum_{k=1}^n{g(\xi_n)(x_k-x_{k-1})}-\int_a^b{g(x)dx}|<\frac{\varepsilon}{2|d|} 所以,当 λ ( Δ ) < min ( δ 1 , δ 2 ) \lambda(\Delta)<\min(\delta_1,\delta_2) 时,就有 k = 1 n [ c f ( ξ n ) + d g ( ξ n ) ( x k x k 1 ) ] c a b f ( x ) d x d a b g ( x ) d x < ε |\sum_{k=1}^{n}[cf(\xi_n)+dg(\xi_n)(x_{k}-x_{k-1})]-c\int_a^b{f(x)dx}-d\int_a^b{g(x)dx}|<\varepsilon (2)(3)的证实比较简单,省略
下面证实(4):只证实前一个命题,后一个命题比较容易,而前一命题只须要证实充分性
实际上,由达布定理,咱们只须要取得一个分划列 { Δ n } \{\Delta_n\} λ ( Δ n ) 0 \lambda(\Delta_n)\to 0 ,有 S ( Δ n ) S ( Δ n ) 0 \overline{S}(\Delta_n)-\underline{S}(\Delta_n)\to 0 就能够证得可积性,而这能够经过分别取 [ a , c ] [a,c] [ c , b ] [c,b] 的分划列 { Δ n 1 } \{\Delta^{1}_n\} { Δ n 2 } \{\Delta^2_n\} ,再合并成 { Δ n } \{\Delta_n\} 便可证得结论。

微积分基本定理

微积分基本定理

上一章,咱们把微分的逆运算称为“不定积分”,但从定积分的定义来看,“不定积分”离真正的“积分”的定义还相去甚远。本节要证实的微积分基本定理,正是搭起微分和积分的一座桥梁。
定理7.8(微积分基本定理) f ( x ) f(x) [ a , b ] [a,b] 上可积且原函数存在,原函数为 F ( x ) F(x) ,则 a b f ( x ) d x = F ( b ) F ( a ) \int_a^b{f(x)dx} = F(b)-F(a)

证:对 [ a , b ] [a,b] 的任意分划 Δ : a = x 0 < x 1 < < x n = b \Delta:a=x_0<x_1<\cdots<x_n=b ,有 F ( b ) F ( a ) = k = 1 n F ( x k ) F ( x k 1 ) (1) \tag{1} F(b)-F(a)=\sum_{k=1}^n{F(x_k)-F(x_{k-1})} 由拉格朗日中值定理,存在 ξ k ( x k 1 , x k ) \xi_k \in (x_{k-1},x_k) ,知足 F ( x k ) F ( x k 1 ) = f ( ξ k ) ( x k x k 1 ) F(x_k)-F(x_{k-1})=f(\xi_k)(x_k-x_{k-1}) k = 1 , , n k=1,\cdots,n ,代入(1)中,有 F ( b ) F ( a ) = k = 1 n f ( ξ k ) ( x k x k 1 ) F(b)-F(a)=\sum_{k=1}^n{f(\xi_k)(x_k-x_{k-1})} 再令 λ ( Δ ) 0 \lambda(\Delta)\to 0 ,按照定积分的定义,有
a b f ( x ) d x = F ( b ) F ( a ) \int_a^b{f(x)dx} = F(b)-F(a)

微积分基本定理将原函数和积分联系在一块儿,而原函数是微分的逆运算,所以,在原函数存在的状况下,就为定积分的计算提供了一种手段。

变上限积分的性质

微积分基本定理要求 f ( x ) f(x) 可积,可积性问题由达布理论能够解决。还要求 f ( x ) f(x) 原函数存在,原函数存在性问题,咱们至今没有介绍,如今,咱们利用定积分,能够回答这个问题。
定理7.9
(1) f ( x ) f(x) [ a , b ] [a,b] 上可积,那么变上限积分 a x f ( x ) d x \int_a^x{f(x)dx} [ a , b ] [a,b] 上的连续函数
(2)若是 f ( x ) f(x) [ a , b ] [a,b] 上连续,那么变上限积分 a x f ( x ) d x \int_a^x{f(x)dx} [ a , b ] [a,b] 上可导,而且导函数为 f ( x ) f(x)

利用定理7.9的结论(2),就有以下推论:
定理7.10(原函数存在定理) 闭区间上的连续函数都存在原函数

在证实定理7.9以前,咱们先证实积分第一中值定理:
定理7.11(积分第一中值定理) f ( x ) f(x) [ a , b ] [a,b] 上连续,可积函数 g ( x ) g(x) [ a , b ] [a,b] 非负,则存在 ξ [ a , b ] \xi\in[a,b] ,使得 a b f ( x ) g ( x ) d x = f ( ξ ) a b g ( x ) d x \int_a^b{f(x)g(x)dx}=f(\xi)\int_{a}^b{g(x)dx}

证:
f ( x ) f(x) [ a , b ] [a,b] 上的最大值和最小值分别为 M M m m ,由积分的不等式性质,有 m a b g ( x ) d x a b f ( x ) g ( x ) d x M a b g ( x ) d x m\int_{a}^b{g(x)dx}\le\int_a^b{f(x)g(x)dx}\le M\int_{a}^b{g(x)dx} 不妨设 a b g ( x ) d x > 0 \int_{a}^b{g(x)dx}>0 ,从而 m a b f ( x ) g ( x ) d x a b g ( x ) d x M m\le\frac{\int_a^b{f(x)g(x)dx}}{\int_{a}^b{g(x)dx}}\le M 再由连续函数的介值定理,存在 ξ [ a , b ] \xi\in[a,b] ,知足: f ( ξ ) = a b f ( x ) g ( x ) d x a b g ( x ) d x f(\xi)=\frac{\int_a^b{f(x)g(x)dx}}{\int_{a}^b{g(x)dx}}

下面咱们证实定理7.9:

证:(1) a x + Δ x f ( x ) d x a x f ( x ) d x x x + Δ x f ( x ) d x x x + Δ x f ( x ) d x |\int_a^{x+\Delta x}{f(x)dx}-\int_a^x{f(x)dx}|\le \\|\int_x^{x+\Delta x}{f(x)dx}|\le \int_x^{x+\Delta x}{|f(x)|dx} f ( x ) f(x) 可积, f ( x ) f(x) 有界,设 f ( x ) M > 0 |f(x)|\le M>0 ,则 a x + Δ x f ( x ) d x a x f ( x ) d x M Δ x |\int_a^{x+\Delta x}{f(x)dx}-\int_a^x{f(x)dx}|\le M|\Delta x| 对任意的 ε > 0 \varepsilon>0 ,当 Δ x < ε M |\Delta x|<\frac{\varepsilon}{M} 时,就有 a x + Δ x f ( x ) d x a x f ( x ) d x < ε |\int_a^{x+\Delta x}{f(x)dx}-\int_a^x{f(x)dx}| <\varepsilon (2) lim Δ x 0 x x + Δ x f ( x ) d x Δ x = lim Δ x 0 f ( ξ ) Δ x Δ x = lim Δ x 0 f ( ξ ) = f ( x ) \lim_{\Delta x\to 0}{\frac{\int_x^{x+\Delta x}{f(x)dx}}{\Delta x}}\\ =\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(\xi)\Delta x}{\Delta x} =\lim_{\Delta x\to 0}{f(\xi)} =f(x) 以上等式中的 ξ \xi 介于 x x x + Δ x x+\Delta x 之间

定积分的换元积分法和分部积分法

由微积分基本定理,咱们就能够把求原函数的换元积分法和分部积分法,推广到定积分的计算当中。
定理7.12 ϕ ( t ) \phi(t) [ a , b ] [a,b] 上可导, f ( ϕ ( t ) ) ϕ ( t ) f(\phi(t))\phi^\prime(t) [ a , b ] [a,b] 上可积, f ( x ) f(x) [ ϕ ( a ) , ϕ ( b ) ] [\phi(a),\phi(b)] 上可积且原函数存在,则 a b f ( ϕ ( t ) ) ϕ ( t ) d t = ϕ ( a ) ϕ ( b ) f ( x ) d x \int_a^b{f(\phi(t))\phi^\prime(t)dt} =\int_{\phi(a)}^{\phi(b)}{f(x)dx}

证:
因为 f ( x ) f(x) [ ϕ ( a ) , ϕ ( b ) ] [\phi(a),\phi(b)] 上的原函数存在,设为 F ( x ) F(x)
F ( ϕ ( t ) ) F(\phi(t)) f ( ϕ ( t ) ) ϕ ( t ) f(\phi(t))\phi^\prime(t) [ a , b ] [a,b] 的原函数。
由微积分基本定理,有 a b f ( ϕ ( t ) ) ϕ ( t ) d t = F ( ϕ ( b ) ) F ( ϕ ( a ) ) \int_a^b{f(\phi(t))\phi^\prime(t)dt} =F(\phi(b))-F(\phi(a)) ϕ ( a ) ϕ ( b ) f ( x ) d x = F ( ϕ ( b ) ) F ( ϕ ( a ) ) \int_{\phi(a)}^{\phi(b)}{f(x)dx} =F(\phi(b))-F(\phi(a)) 所以, a b f ( ϕ ( t ) ) ϕ ( t ) d t = ϕ ( a ) ϕ ( b ) f ( x ) d x \int_a^b{f(\phi(t))\phi^\prime(t)dt} =\int_{\phi(a)}^{\phi(b)}{f(x)dx}

定理7.13 若是 x = ϕ ( t ) x=\phi(t) 的导数恒为正, f ( x ) f(x) [ a , b ] [a,b] 上可积, f ( ϕ ( t ) ) ϕ ( t ) f(\phi(t))\phi^\prime(t) [ ϕ 1 ( a ) , ϕ 1 ( b ) ] [\phi^{-1}(a),\phi^{-1}(b)] 上存在原函数且可积,则
a b f ( x ) d x = ϕ 1 ( a ) ϕ 1 ( b ) f ( ϕ ( t ) ) ϕ ( t ) d t \int_a^b{f(x)dx}=\int_{\phi^{-1}(a)}^{\phi^{-1}(b)}{ f(\phi(t))\phi^\prime(t)dt }

定理7.14 f ( x ) , g ( x ) f(x),g(x) 可导, g ( x ) g(x) 原函数为 G ( x ) G(x) f ( x ) G ( x ) f^\prime(x)G(x) [ a , b ] [a,b] 上的原函数存在且可积,则 a b f ( x ) g ( x ) d x = f ( b ) G ( b ) f ( a ) G ( a ) a b f ( x ) G ( x ) d x \int_a^b{f(x)g(x)dx} =f(b)G(b)-f(a)G(a)-\int_a^b{f^\prime(x)G(x)dx}
证实是相似的,这里不证。

积分第二中值定理

积分第二中值定理在反常积分的证实中十分关键,咱们先给出积分第二中值定理的内容。
定理7.15(积分第二中值定理) g ( x ) g(x) [ a , b ] [a,b] 上可积
(1) f ( x ) f(x) [ a , b ] [a,b] 上单调上升, f ( x ) 0 f(x)\ge0 ,则存在 ξ [ a , b ] \xi \in [a,b] a b f ( x ) g ( x ) d x = f ( b ) ξ b g ( x ) d x \int_a^b{f(x)g(x)dx} =f(b)\int_\xi^b{g(x)dx} (2) f ( x ) f(x) [ a , b ] [a,b] 上单调降低, f ( x ) 0 f(x)\ge 0 ,则存在 ξ [ a , b ] \xi \in [a,b]
a b f ( x ) g ( x ) d x = f ( a ) a ξ g ( x ) d x \int_a^b{f(x)g(x)dx} =f(a)\int_a^\xi{g(x)dx} (3) f ( x ) f(x) [ a , b ] [a,b] 上单调,则存在 ξ [ a , b ] \xi \in [a,b] a b f ( x ) g ( x ) d x = f ( a ) a ξ g ( x ) d x + f ( b ) ξ b g ( x ) d x \int_a^b{f(x)g(x)dx} =f(a)\int_a^\xi{g(x)dx}+f(b)\int_\xi^b{g(x)dx}

因为定理的条件十分宽松,所以,咱们不妨把条件增强给出一个简单的证实,再从这个证实中寻找证实的思路。
假设 f ( x ) f(x) [ a , b ] [a,b] 上单调上升且有连续导数, g ( x ) g(x) [ a , b ] [a,b] 连续,令 G ( x ) = x b g ( t ) d t G(x)=\int_x^b{g(t)dt} G ( x ) = g ( x ) G^\prime(x) = -g(x) ,由分部积分法: a b f ( x ) g ( x ) d x = a b f ( x ) d G ( x ) = f ( x ) G ( x ) a b + a b f ( x ) G ( x ) d x = f ( a ) a b g ( t ) d t + a b f ( x ) G ( x ) d x (3) \tag{3} \int_a^b{f(x)g(x)dx}=-\int_a^b{f(x)dG(x)} =-f(x)G(x)|_a^b + \int_a^b{f^\prime(x)G(x)dx}\\ =f(a)\int_a^b{g(t)dt} + \int_a^b{f^\prime(x)G(x)dx} M , m M,m G ( x ) G(x) [ a , b ] [a,b] 上的最大值和最小值,那么就有 m a b f ( x ) d x a b f ( x ) G ( x ) d x M a b f ( x ) d x m\int_a^b{f^\prime(x)dx}\le \int_a^b{f^\prime(x)G(x)dx} M \int_a^b{f^\prime(x)dx} m a b f ( x ) G ( x ) d x f ( b ) f ( a ) M m\le \frac{\int_a^b{f^\prime(x)G(x)dx}}{f(b)-f(a)} \le M