快速入门Treap(代码实现)

2022年05月11日 阅读数:5
这篇文章主要向大家介绍快速入门Treap(代码实现),主要内容包括基础应用、实用技巧、原理机制等方面,希望对大家有所帮助。

学习数据结构对我来讲真的至关困难,网上讲\(Treap\)的我也看不太懂,前先后后花了大概六天才把\(Treap\)学会。为了不再次忘记,这里我整理一下\(Treap\)的基础知识和模板。

阅读此文前,你须要知道:

  • \(Treap\)的基本原理

  • 二叉查找树的性质

第一次接触\(Treap\)的同窗请移步Treap的学习总结,本文着重强调代码实现和细节问题。

本文无指针,码风比较清新,请放心食用。

0.变量定义

\(:t:Treap\_node\){

  • \(rd\):随机产生的优先级

  • \(sz\):子树大小

  • \(ch\)\(0\)表明左子节点,\(1\)表明右子节点。

  • \(key\):键值(实际值大小)

  • \(cnt\):当前键值节点个数

}

  • \(tot\):结点个数

  • \(root\):根节点

1.操做类型

  • \(rotate\) - 旋转

    • 分为左旋和右旋两种,能够传一个方向的参数,把它们合成一种。

    • 流程:(这里以右旋为例)

      • 节点:\(p\)点(传址引用), \(p\)的左子节点\(ls\)

      • \(ls\)的右子树接在\(p\)点上

      • \(ls\)的右子节点变为\(p\)

      • 更新两个节点大小

      • 把连向\(p\)的边引向\(ls\)\(p = ls\)

    • Q:为何对\(p\)点传址引用?

      • A:在插入/删除点的时候一样采用了传址引用。节点\(Fa\)搜索过程当中到达它的子节点\(p\)时,\(Fa\)\(p\)点的指针\(t[Fa].ch[dir]\)会同时被传出,从而使\(rotate\)直接修改\(Fa\)\(p\)的链接情况。

    • Q:为何把\(ls\)的右子树接在\(p\)点上?

      • A:为了维护二叉搜索树的性质,在任意一棵子树中,你要保证左子树>根节点>右子树。\(ls\)自己所链接的右子树是合法的,根据旋转前的定义,\(ls\)的右子树键值<\(p\)点键值。为了维护旋转后\(Treap\)二叉的性质,咱们选择把这一棵子树改接到\(p\)点上去。

    • 关于传入的\(dir\)参数怎么玩,能够本身画图琢磨一下。

    • 注意两个节点大小的更新顺序。

    void rotate (int &p, int dir) {
        //dir = 0 / 1 -> 右旋 / 左旋
     	int s = t[p].ch[dir ^ 0];
        t[p].ch[dir ^ 0] = t[s].ch[dir ^ 1];
        t[s].ch[dir ^ 1] = p;
        push_up (p);
        push_up (s);
        p = s;
    }
  • \(Insert\) - 插入

    • 没有就加入,有就累加计数器。

    • 流程:

      • 判断与子节点的大小关系,大了向左,小了向右

      • 一路上对每一个通过节点增长子树大小

      • 若是有键值相等的点,就直接累加计数器

      • 若是没有(在向子树查找过程当中走到编号为\(0\)的子树)

        • 新建节点,初始化相关数据。

      • 注意传址引用

    • 程序里用了一点小\(Trick\)来记录方向,简化代码。

    • Q:这里传址引用还有什么做用?

      • A:改变链接状况的做用见上一个操做,还有一个用处是初始化根节点。每次插入都从根节点开始。若是尚未点的话,新建的节点会直接覆盖传入的根节点的地址而成为根节点。

void Insert (int &p, int key) {
    if (p == 0) {
        p = ++tot;
        t[p].sz = 1;
        t[p].cnt = 1;
        t[p].key = key;
        t[p].rd = rand ();
        return;
    }
    ++t[p].sz;
    if (t[p].key == key) {
        ++t[p].cnt;
    } else {
        int dir = key > t[p].key;
        Insert (t[p].ch[dir], key);
        if (t[p].rd > t[t[p].ch[dir]].rd) {
            rotate (p, dir);
        }
    }
}
  • \(Delete\) - 删除

    • 流程:

      • 判断与子节点的大小关系,大了向左,小了向右

      • 一路上对每一个通过节点减小子树大小

      • 若是有键值相等的点

        • 若是该点个数\(>1\)

          • 直接减小点数

        • 若是点的个数\(=1\)

          • 把当前节点不断向下旋转

          • 为了保持优先级,老是把优先级更高(\(rd\)更小)的转上来

          • 若是这个点只剩\(<=1\)棵子树(\(t[p].ch[0] * t[p].ch[1] == 0\)),那么就能够把它删掉,把它还剩的那个子节点提上来。($p = t[p].ch[0] + t[p].ch[1]; $)

void Delete (int &p, int key) {
    if (p == 0) {
        return;
    }
    if (t[p].key == key) {
        if (t[p].cnt > 1) {
            --t[p].sz;
            --t[p].cnt;
        } else {
            if (t[p].ch[0] * t[p].ch[1] == 0) {
                //分支 < 2 
                p = t[p].ch[0] + t[p].ch[1];  
            } else {
                if (t[p].ch[0] < t[p].ch[1]) {
                    rotate (p, 0);
                } else {
                    rotate (p, 1);
                }
                Delete (p, key);
            }
        }
    } else {
        --t[p].sz;
        Delete (t[p].ch[key > t[p].key], key);
    }
}
  • \(nxt/pre\) - 查找前驱/后继

    • 也就是第一个比查找键值大/小的数

    • 这里以\(nxt\)为例

    • 流程:

      • 查找的键值小于当前所在节点的键值:

        • 向左走,看还有没有更小一点的值

        • 防止玩脱,先记答案

      • 不然直接向右走(必定不多是后继)

    • 这里本蒻使用非递归版

int pre (int key) {
    int p = root, ans = 0;
    while (p != 0) {
        if (t[p].key < key) {
            ans = t[p].key;
            p = t[p].ch[1];
        } else {
            p = t[p].ch[0];
        }
    }
    return ans;
}

int nxt (int key) {
    int p = root, ans = 0;
    while (p != 0) {
        if (t[p].key > key) {
            ans = t[p].key;
            p = t[p].ch[0];
        } else {
            p = t[p].ch[1];
        }
    }
    return ans;
}
  • \(kth\) - 求\(k\)大值

    • 流程:

      • \(k<=\)当前点左子树大小:去左子树找

      • \(k>\)当前节点左子树大小 + 当前节点的计数:去右子树找

      • 不然\(k\)就刚好落在当前节点上,直接返回当前节点的答案

    • 附加操做都相对简单,不做赘述。

int kth (int k) {
    int p = root;
    while (p != 0) {
        if (k <= t[t[p].ch[0]].sz) {
            p = t[p].ch[0];
        } else if (k > t[t[p].ch[0]].sz + t[p].cnt) {
            k -= t[t[p].ch[0]].sz + t[p].cnt;
            p = t[p].ch[1];
        } else {
            return t[p].key;
        }			
    }
    return false;
}
  • \(get\_rnk\) - 求当前数的排名

    • 流程:

      • 键值比当前节点大:去右子树找 && 带上左子树和当前节点的贡献

      • 键值比当前节点小:去左子树找

      • 键值与当前节点相等:返回答案

    • 在返回答案时记得加上当前节点左子树大小(未统计的贡献)\(+ 1\)(排名)

int get_rnk (int key) {
    int p = root, ans = 0;
    while (p != 0) {
        if (key < t[p].key) {
            p = t[p].ch[0];
        } else if (key > t[p].key) {
            ans += t[p].cnt;
            ans += t[t[p].ch[0]].sz;
            p = t[p].ch[1];
        } else {
            return ans + t[t[p].ch[0]].sz + 1;
        }
    } 
    return false;
}

2.完整板子(Luogu P3369 普通平衡树)

#include <bits/stdc++.h>
#define N 100010
using namespace std;

struct Treap {
    int tot, root;
    
    struct Treap_node {
        int rd, sz, ch[2], cnt, key;
    }t[N];
    
    Treap () {
        tot = root = 0;
        memset (t, 0, sizeof (t));
    }
    //注意初始化
    
    void push_up (int p) {
        t[p].sz = t[p].cnt;
        t[p].sz += t[t[p].ch[0]].sz; 
        t[p].sz += t[t[p].ch[1]].sz;
    }
   //更新节点大小
    
    void rotate (int &p, int dir) {
        //dir = 0 / 1 -> 右旋 / 左旋
     	int s = t[p].ch[dir ^ 0];
        t[p].ch[dir ^ 0] = t[s].ch[dir ^ 1];
        t[s].ch[dir ^ 1] = p;
        push_up (p);
        push_up (s);
        p = s;
    }
    //旋转
    
    void Insert (int &p, int key) {
        if (p == 0) {
            p = ++tot;
            t[p].sz = 1;
            t[p].cnt = 1;
            t[p].key = key;
            t[p].rd = rand ();
            return;
        }
        ++t[p].sz;
        if (t[p].key == key) {
            ++t[p].cnt;
        } else {
            int dir = key > t[p].key;
            Insert (t[p].ch[dir], key);
            if (t[p].rd > t[t[p].ch[dir]].rd) {
                rotate (p, dir);
            }
        }
    }
    //插入
    
    void Delete (int &p, int key) {
        if (p == 0) {
            return;
        }
        if (t[p].key == key) {
            if (t[p].cnt > 1) {
                --t[p].sz;
                --t[p].cnt;
            } else {
                if (t[p].ch[0] * t[p].ch[1] == 0) {
                    //分支 < 2 
                    p = t[p].ch[0] + t[p].ch[1];  
                } else {
                    if (t[p].ch[0] < t[p].ch[1]) {
                        rotate (p, 0);
                    } else {
                        rotate (p, 1);
                    }
                    Delete (p, key);
                }
            }
        } else {
            --t[p].sz;
            Delete (t[p].ch[key > t[p].key], key);
        }
    }
    //删除
    
    int pre (int key) {
        int p = root, ans = 0;
        while (p != 0) {
            if (t[p].key < key) {
                ans = t[p].key;
                p = t[p].ch[1];
            } else {
                p = t[p].ch[0];
            }
        }
        return ans;
    }
    //前驱
    
    int nxt (int key) {
        int p = root, ans = 0;
        while (p != 0) {
            if (t[p].key > key) {
                ans = t[p].key;
                p = t[p].ch[0];
            } else {
                p = t[p].ch[1];
            }
        }
        return ans;
    }
    //后继
    
    int kth (int k) {
        int p = root;
        while (p != 0) {
            if (k <= t[t[p].ch[0]].sz) {
                p = t[p].ch[0];
            } else if (k > t[t[p].ch[0]].sz + t[p].cnt) {
                k -= t[t[p].ch[0]].sz + t[p].cnt;
                p = t[p].ch[1];
            } else {
                return t[p].key;
            }			
        }
        return false;
    }
    //k大(返回的是第k大的键值)
    
    int get_rnk (int key) {
        int p = root, ans = 0;
        while (p != 0) {
            if (key < t[p].key) {
                p = t[p].ch[0];
            } else if (key > t[p].key) {
                ans += t[p].cnt;
                ans += t[t[p].ch[0]].sz;
                p = t[p].ch[1];
            } else {
                return ans + t[t[p].ch[0]].sz + 1;
            }
        } 
        return false;
    }
    //求排名
}tree;

int n, x, opt;

int main () {
//	freopen ("Data.in", "r", stdin);
    srand (time (NULL));
    scanf ("%d", &n);
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        scanf ("%d %d", &opt, &x);
        if (opt == 1) {//insert
            tree.Insert (tree.root, x);
        }
        if (opt == 2) {//delete
            tree.Delete (tree.root, x);
        }
        if (opt == 3) {//get_rank
            printf ("%d\n", tree.get_rnk (x));
        }
        if (opt == 4) {//get_kth
            printf ("%d\n", tree.kth (x));
        }
        if (opt == 5) {//get_pre
            printf ("%d\n", tree.pre(x));
        }
        if (opt == 6) {//get_nxt
            printf ("%d\n", tree.nxt(x));
        }
    }
}